第一卷 正文

序章

不可以只是记忆。

不可以无法回忆。

——小林秀雄

我无法忘记。

我无法忘记在高中时代一起研究数学的女孩们。

用优雅的解法震撼人心的才女，米尔迦。

认真提出疑问的活泼少女，蒂蒂。

每当想起那段时光，心中就会浮现出数学公式，并跟着展开活络的思维。数学公式超越时间，向我展现欧几里得、高斯、以及尤拉等数学家的灵光一闪。

——数学是超越时间的。

藉由阅读数学公式，我品尝着从前数学家体会过的感动。即使这已在数百年前就被证明完毕也无所谓，现在的我确实地拥有完成这些逻辑的快感。

——用数学超越时间。

就有如深入丛林找出隐藏的宝藏。数学是个令人兴奋的游戏，以最佳的解法为目标，这是智力的竞赛。数学，是令人心悸的战斗。

那时候，我开始使用名为数学的武器——但是这武器却巨大到难以控制，就像无法控制自己的年少轻狂，就像无法控制对她们的深深思念。

不可以只是记忆。

不可以无法回忆。

一切的开端，是在高一的那年春天……

第1章数列与规律

一、二、三。三即是一。

一、二、三。三即是二。

——大島弓子『綿の國星』

1．1在樱花树下

——高一那年春天。

开学典礼那天阳光普照。

「美丽的樱花盛开……每个人都跑出了崭新的一步……在这传统的校舍里……努力地读书跑跳……少年易老学难成……」

校长的演讲不断诱导我进入梦乡，我推了推眼镜，忍住哈欠。

开学典礼結束後，回到教室的途中，我悄悄地离开校舍，一脚踏進了并排的樱花树道，漫步在周围沒有任何人的路上。

我现在15岁。15，16，17……毕业的时候就18岁了，会经过一个4的倍数，还有一个质数。

15＝3×5

16＝2×2×2×2＝244的倍数

17＝17质数

18＝2×3×3＝2×32

现在教室里的其它同学应该正在做自我介绍吧。我最不擅长自我介绍了，到底要说出什么样的自己呢？

「我喜欢数学。兴趣是推演算式，请各位多多指教。」

这样的说词会让大家目瞪口呆吧。

算了，顶多和国中时一样静静地听课，然后独自在图书室里度过推演算式的三年吧。

这时，一棵格外巨大的樱花树出现在我的眼前。

一位少女正站在树旁仰望着这棵樱花树。

她大概是新生。也跟我一样是偷跑出来的吗？

于是我也抬头看着樱花树，昏暗的天色映入眼帘。

一阵风吹来，飞舞的樱花将少女围绕住。

少女看向我。

她有一副高挑的身材以及乌黑的长发。

紧闭嘴唇的脸上戴着金属框的眼镜。

她用清楚的发音念出：

「一、一、二、三。」

※※1123

念了四个数字之后，少女阖上嘴并指向我，似乎是在对我说：『你，就是你。请回答下一个数字是什么？』

我的手也指向自己。

(要我回答？)

少女无言地点点头，食指依然指着我。

这是怎么回事？为什么走在樱花树道的我必须要玩这种猜数字的游戏呢？唔……答案是……

『1，1，2，3，……』

嗯，原来如此，我懂了。

「1，1，2，3之后是5，接着是8，再来是13，然后是21，接下来的数字是……」

少女将手心朝向我，这是停止的手势。

这次是另一个问题，一样是四个数字。

※※1427256

少女又伸手指向我。

这是测验吗？

『1，4，27，256，……』

我瞬间就找到了规则。

「1，4，27，256再来是3125吧。再来……我没办法用心算。」

少女皱了皱眉。她对回答『没办法用心算』的我摇摇头，然后将答案告诉我。

「1，4，27，256，3125，46656，……」她的声音十分清晰。

少女闭上了眼，接着像要仰望樱花树般抬起头，她的食指不断地在空中比划。

少女的嘴里仍然不停地念着数字。虽然她只是轻声吟咏、做着微小的动作，但是我的目光却已经离不开这个奇异的女孩。她到底想做什么？

然后她看向这里。

※※6153577

又是四个数字。

『6，15，35，77，……』

这问题还颇难的，我努力让头脑运转。6与15是3的倍数，但是35却不是，而35与77是7的倍数……要是能写在纸上的话，或许就能迅速解开了。

我稍微瞄了一下。樱花树下的少女仍然站在树旁，并用相当认真的表情看着我，就连头发沾上樱花也不以为意。看到她这种认真的态度，这果然是测验吗？

「我知道了。」

我才刚说完，少女的眼睛就为之一亮，还露出些微的笑容。这是我第一次看见她的微笑。

「6，15，35，77之后是133。」我不自觉地提高音量。

但是少女却摇摇头，露出一副「真拿你没办法」的表情。风使她的长发飞舞，也令樱花飘落。

「计算错误。」女孩的手指碰了碰眼镜。

计算错误……唔……的确如此，11×13＝143才对，并不是133。

少女继续发问：

※※62821018

这次是六个数，我稍微想了一下，最后的18真让人头痛，要是2的话就好了，这题看起来很像无意义的数字组合……不对……全都是偶数吗？……我懂了！（JoyJ：读者不必纠结，这个数列绝对是没有任何一个人类能懂的……剧情需要，剧情需要）

「再过来是4，12，10，6，……还真是个过分的难题。」我说。

「是吗？不过你不是也解出来了？」

她露出满足表情的同时走到我的面前伸出一只手。她的手指相当细长。

(要握手吗？)

我在搞不清楚的状况下和她握了手，她有双柔顺而且温暖的手。

「我是米尔迦，请多指教指数。」

这就是我与米尔迦的邂逅。

1．2自家

夜晚。

我喜欢夜晚。家人沉睡后就是我的自由时间。没有任何人会打扰的世界，在那里只有我一人，摊开书本、探索世界、进入数学的丛林里，发现稀有的动物、清澈的湖水、雄壮的巨木，并与无法想象的美丽花朵邂逅……

米尔迦。

明明只是第一次见面，却谈了奇怪话题的怪人。我想她一定很喜欢数学吧，在完全没有任何说明的情况下，就突然进行起如同测验般的数学问答。我合格了吗？我回想起跟她的握手，那是非常柔软的手；还回想起些微的香味，那是淡淡的女孩香。

女孩。

我将眼镜放在书桌上，接着闭上眼回想与米尔迦的对话。

一开始的问题是1，1，2，3，5，8，11，……这是斐波那契数列。在1、1之后，将前面两数相加形成下一个数。

1，1，1＋1＝2，1＋2＝3，2＋3＝5，3＋5＝8，5＋8＝13，……

下一个问题是1，4，27，256，3125，46656，……解法则是……

1<1次方>，2<平方>，3<立方>，4<4次方>，5<5次方>，6<6次方>，……

也就是说一般项为n<n次方>，4<4次方>或5<5次方>还好，不过6<6次方>的话我就无法心算了。

再来6，15，35，77，143，……则是这种规则……

2×3，3×5，5×7，7×11，11×13，……

也就是『质数×下一个质数』。11×13的计算错误是我的败笔，被米尔迦明确地说出『计算错误』还真是不堪。

最后的问题，6，2，8，2，10，18，4，12，10，6……相当的难，因为这是十进制圆周率π的各分位数乘上2之后组成的数列。

π＝3.141592653……圆周率

→3，1，4，1，5，9，2，6，5，3，……各分位

→6，2，8，2，10，18，4，12，10，6，……各分位乘上2

这个问题必须熟记圆周率3.141592653……否则就无法解答，不靠记忆根本无法解答。（JoyJ：有记忆又有什么用……咱怎么也是个能背过圆周率前一百位的人，可是想了那么半天不还是无解么……）

记忆。

我喜欢数学，是因为比起记忆东西，我更喜欢思考。数学并不是要唤起陈旧的记忆，而是要拓展新的发现。记忆性的东西就只能死记，像是人名、地名、单字、元素表，没有第二种方法。但是数学不同，给予问题的条件，就像将材料和道具准备好放在桌上，胜负的关键不是记忆，而是思考。

……我是这么想的。

但是，或许没有那么单纯。

同时我也注意到为什么米尔迦在出「6，2，8，2」的问题时，没有只说6，2，8，2，而是说到6，2，8，2，10，18的原因了。若是只说6，2，8，2的话，解答就不一定只有π各分位数乘上2这种可能性，还有其它更简单的解答，例如6，2，8，2，10，……自然也有可能像下面的数列一样，也就是每个偶数项中插入N的数列。

6，2，8，2，10，2，12，2，……

米尔迦是在考虑到这个问题之后才这样出题的。

『不过你不是也解出来了？』

她预测出我有办法解答，还露出满足的表情。

米尔迦。

在春天的阳光下与樱花飞舞的风中，不逊于这幅风景的她就站在那里，摇曳的黑发、有如指挥家般细长的手指，以及那双温暖的手与淡淡的香味。

不知为何，我的脑海里已经挥不去她的身影。

1．3数列谜题没有正确解答

「米尔迦，为什么那时候你要出数列谜题呢？」我问道。

「那时候？」她停止计算并抬起头。

这里是图书室，打开的窗户吹进清爽的风，而窗外是一片梧桐树绿，远方还传来棒球社练习的声音……

现在是五月。

对新学校、新教室、新同学的新鲜感逐渐淡化，我回到了平淡无奇的日常作息。

我没有参加任何社团，也就是所谓的回家社。话虽如此，放学后的我并不会立刻回家。在最后的班会结束后，为了能独自推演算式，我通常会前往图书室。

就和国中时一样，我没有参加社团，而是放学后在图书室(国中称为图书间)看书，或是看看窗外的绿色，抑或是预习与复习功课。

其中最喜欢的还是推演算式。将课堂上出现过的公式在笔记本上重新组合、将原本的定义还原、重新导出公式、将定义变形、设想实例、品尝变换定理的乐趣、思考证明方式……我喜欢将这些东西记在笔记本上头。

不擅长运动、也没有可以一起玩的朋友的我，最大的乐趣就是一个人而对笔记本的时候。虽然写出算式的是我，但是并不是随便怎么写都可以，而是有一定的规则。有规则就算一种游戏，没有比这更严密、更自由的游戏了，这是历史上的数学家们挑战过的游戏，只有一支自动铅笔、一本笔记本和我的脑袋就能进行的游戏，我乐此不疲。

所以即使成为高中生，我也同样地享受一个人在图书室的乐趣。

但是，事实与原本的期望有些不同。

那就是到图书室的学生不只有我一个。

米尔迦。

她与我同班，而且她每三天会在放学后到图书室一次。

每当我一个人计算的时候，她会将自动铅笔从我的手中抽出，然后擅自在笔记本上写字，先说明一下，这本笔记本是我的，该说她旁若无人还是自由自在呢？

不过我也不讨厌她这样做，她表现出的数学虽然困难，但是有趣、刺激，而且……

「你说那时候，是指什么时候？」米尔迦咬着(我的)自动铅笔回问着。

「就是第一次见面的时候，在樱花树下……」

「啊，那个啊。没什么理由，只是刚好想到罢了。怎么突然问我这个？」

「没什么，突然想到而已。」

「喜欢那种谜题吗？」

「应该不算讨厌。」

「喔，那你知道『数列谜题没有正确解答』这句话吗？」

「什么意思？」

「譬如1，2，3，4，你认为接下来是什么？」米尔迦说道。

「当然是5吧。1，2，3，4，5……这样下去。」

「然而，这并不是一定的。例如1，2，3，4，然后在这里突然增到10，20，30，40，再增加到100，200，300，400……这样也算是一种数列。」

「那样太卑鄙了。开始只说四个数，然后之后才出现『在这里突然增加』之类的。谁能预测到1，2，3，4之后会是10啊？」

「是吗？那要给你几个数才可以呢？假如数列一直无限延伸的话，要提示到第几个才够呢？」

「……你所谓的『数列谜题没有正确解答』就是这个意思吗？提示的数之后有可能突然改变规律。不过，在1，2，3，4后面突然接10的话，以问题来说未免太没意义了。」

「世界上的事不就是这么一回事吗？不晓得之后会发生什么事、与原先预测的不同……那么，你能解出这个数列的一般项吗？」

米尔迦一边说，一边将数列写在笔记本上。

※※1，2，3，4，6，9，8，12，18，27，……

「嗯～～好像知道又好像不知道。」

「1，2，3，4之后应该是5吧。可是不是5而是6，在少数样本中规则没有出现，也就是说看不到规律。」

「嗯。」

「1，2，3，4，6，9，再来应该会更大吧，不过正好相反。9的下一个是比较小的8，原本觉得会越来越大的数列现在却反过来了，你能看出它的规律吗？」

「嗯～～除了一开始的1以外，出现的都是2和3的倍数，不过变小的部分就不太了解。」

「像这样的话就可以说明了。」

2<0次方>3<0次方>，2<1次方>3<0次方>，2<0次方>3<1次方>，2<平方>3<0次方>，2<1次方>3<1次方>，2<0次方>3<平方>，2<立方>3<0次方>，2<平方>3<1次方>，2<1次方>3<平方>，2<0次方>3<立方>，……

「像这样以2和3的指数来思考的话，就可以看出结构了。」

「咦？我还是不太清楚。0次方是1，所以……

2<0次方>3<0次方>＝1，2<1次方>3<0次方>＝2，2<0次方>3<1次方>＝3，……

确实就像一个数列，不过……」

「嗯～～写出指数了还是不懂吗？那像这样呢？」

2<0次方>3<0次方>——指数的和是0

2<1次方>3<0次方>，2<0次方>3<1次方>——指数的和是1

2<平方>3<0次方>，2<1次方>3<1次方>，2<0次方>3<平方>——指数的和是2

2<立方>3<0次方>，2<平方>3<1次方>，2<1次方>3<平方>，2<0次方>3<立方>——指数的和是3

（JoyJ：所以又是一道纯粹恶心人的题目……）

「原来如此。」

「说到2与3的倍数……」米尔迦说到一半。

这时候图书室的门口突然传来呼唤她的声音。

「米尔迦……差不多该走了吧！」

「啊，今天是练习的日子吗？」

米尔迦把笔还给我并朝入口的女孩走去。在要走出图书室之前，她转头向我说：

「找机会再跟你讨论『假如世界上只有两个质数』的有趣话题吧。」

她留下我一个人离开了图书室。

假加世界上只有两个质数？

这又是怎么回事？

第2章名为算式的情书

我的心里只有你

一秩尾望都『ラーギニー』

2．1校门口

升上高二，不过只是学年标志从I变成II，今天仍旧和昨天一样没有变化……在早上之前我是这么认为的。

「请、请收下这个。」

在阴天的四月底，升高二后经过一个月的早上，我在校门口被一个女孩叫住。

她向我伸出的两手中有一封白色的信，我糊里糊涂地收下信，这个女孩向我行个礼后，就往校舍的方向跑走。

她的身高比我矮很多，也没有看过的印象，大概是刚入学的新生。我急忙将信收入门袋并向教室走去。

上次收到女生的信是在小学的时候，那时我感冒请假休息，身为班长的女孩将作业以及「大家都在等你，要快点好起来回学校上课喔！」的信送到家里……只是单纯的联络事项。

之前米尔迦说过『不晓得之后会发生什么事』，的确没错，今天未必和昨天一模一样。

口袋里的信不断在课堂中动摇着我的心。

2．2心算问题

「这是心算问题。1024的因子有几个？」

现在是午休时间，正想把女孩的信拿出来的时候，米尔迦边咬着巧克力棒边走到我的身旁问问题。由于没有换班，所以我和米尔迦二年级仍然同班。

「用心算？」我把信放回口袋。

「我数到10之前回答。0，1，2，3……」

等一下，1024的因子……能整除1024的数，1可以，2可以，3不行，1024不能被3整除，4的话可以。啊，对了！1024是2的10次方……我急急忙忙地计算。

「……9，10，时间到。几个？」

「11个，1024的因子有11个。」

「正确答案，怎么算的？」米尔迦一边舔着拿巧克力的手指一边等我回答。

「1024用质因子分解的话就是2的10次方，所以1024就会像这样分解。」我说。

1024＝2<10次方>＝2×2×2×2×2×2×2×2×2×2——2有10个

我接着说：「1024的因子一定能整除1024，所以因子一定是2n×n从1到10，所以1024的因数为以下11个。」

2<0次方>，2<1次方>，2<平方>，2<立方>，2<4次方>，2<5次方>，2<6次方>，2<7次方>，2<8次方>，2<9次方>，2<10次方>

对于我的回答，米尔迦点了点头。「答对了，那么下一个问题。将1024的因数全部加起来的和是……」

「米尔迦，抱歉。中午我有点事，晚点再聊……」我说完之后站了起来。

我不顾被打断话题、明显露出不愉快表情的米尔迦，快速地走出教室。

打断她出题真的很抱歉，1024的因子的和啊……我边走向屋顶边思考答案。

2．3信

即使是午休，屋顶上还是没什么人，是因为天气不太好的关系吧。

信封里装着白色的信纸，上面是用钢笔横写的娟秀字体。

我是今年入学的蒂德菈，是跟学长就读同所国中、小你一届的学妹。因为想跟学长讨论关于数学的事，所以写了这封信。

虽然我对数学有兴趣，不过国中的上课内容就让我很吃力。听说进高中之后数学会更深，很希望能解决这个问题。

非常抱歉在您忙碌的时候打扰了，希望能有机会与您商谈。今天放学后我会在大型教室里等您。

蒂德菈

我将这封信读了四次。

原来她叫做蒂德菈啊，摩诺=迪=德莉=蒂德菈，跟我同所国中、小我一届的学妹。不过我完全没印象，不擅长数学的学生确实很多，尤其是新生。

……先不管这些，这封信还是像联络事情用的嘛……虽然有点失望，不过算了，这样也好。（JoyJ：==你在期待什么……）

放学后在大型教室见面啊。

2．4放学后

「……算出来了吗？」

结束了一天的课程，在我前往大型教室的途中，米尔迦突然问。

「2047。」我立刻回答，1024所以因数的和就是2047。

「是因为思考时间充裕吧。」

「大概……那明天见。」

「你要去图书室吗？」米尔迦的眼镜闪了一下。

「不，今天大概不会去了，突然有点事。」

「喔……这样的话，就出个回家作业吧。」

※※米尔迦出的回家作业

请说明一正整数n，求其「因数和」的方法为何？

「这是要使用n来表达因数和的算式吗？」我问。

「不，只要写出求的过程就好了。」

2．5大型教室

「对不起。找你出来……这个……」

刚进大型教室，就看到蒂蒂一个人紧张地等着，胸前还抱着笔记本和铅笔盒。

「我、我想和学长谈一谈，可是又不知道该怎么办。我朋友说在这里的话会比较方便，所以……」

这个大型教室必须从主校区绕过小小的中庭才能到达，主要在物理和化学课时使用。教室由阶梯构成，最下阶是讲台，这是为了让学生方便看清楚教室实验操作的配置。

我和蒂蒂坐在最后一排的长椅上，我从口袋中拿出今天早上的信。

「我已经看了这封信了。但是不好意思，我不太记得你。」

她的右手立刻在脸前左右摇晃。

「没关系，我也觉得你不会记得我的。」

「而且，为什么你会认识我啊？我在国中时应该不怎么显眼才对。」没参加社团、放学后只到图书间的人应该不会引人注目。

「啊，这个……学长你很有名喔。我……那个……」

「算了……你说想谈谈有关数学不拿手的事情，可以说明得再详细一点吗？」

「啊，好的，谢谢您……我从小学开始就觉得数学的问题很有趣。但是进国中后，不管是上课还是看课本，都常常觉得『无法完全理解』。到高中之后，老师又说数学很重要，要好好学习，所以才想要解决『无法完全理解』这个问题。」

「原来如此。所以就是因为有『无法完全理解』的问题，你的成绩也不是很好啰？」

「不，这个的话……」

蒂蒂边将食指指甲放在嘴唇上边思考，拥有一头短发、灵活滚动双眼的蒂德菈给人的感觉像是活泼的小动物松鼠或是小猫之类的。

「像段考之类有一定范围的考试，就不会有太大的问题。但是像模拟考，有时候就会考得很差，中间会有蛮大的落差。」

「上课呢？上课的时候听得懂吗？」

「上课啊……老师教的时候好像都听懂了。」

但是却无法完全理解？

「是啊，无法完全理解。多多少少能解题，上课也好像听得懂。可是实际上却没有完全理解。」

2．5．1质数的定义

「那么我再问得更具体一点，你知道质数吗？」

「……嗯，应该知道。」

「应该知道啊……那你说说看质数的定义，就是回答『什么是质数』。不需要用算式，用自己的说法表达就可以了。」

「什么是质数？嗯～～像5或7之类的吗？」

「嗯，5和7都是质数没错——但是5和7都只是质数的一个例子。「举例」和「定义」并不一样。什么是质数？」

「啊，好的。质数就是……『只有1和自己本身能整除自己的数』吧，这是数学老师叫我们一定要记起来的定义。」蒂蒂点点头说。

「也就是说，你认为这个定义是正确的？」

『当正整数p只能被1与p整除时，p为质数』(？)

「嗯，我觉得这是正确的。」

「不，这定义是错的。」

「咦？假如拿5当例子的话，只有1和5可以整除啊。」

「嗯，5是质数没错。但是照这个定义的话，1也会变成质数了。因为当p用1代入时，p只能被1与p整除这点是符合的，但是1并不包含在质数之内。最小的质数是2，将质数由小到大排列，会像下面的数列一样从2开始。」

2，3，5，7，11，13，17，19，……

我继续说下去：「所以前面的定义是错的，质数的定义应该如下面所写……」

『当正整数p只能被1与p整除时，p为质数，但1除外。」

「或是从一开始就定下条件。」

『p为大于1的整数，当正整数p只能被1与p整除时，p为质数。』

「条件用算式也可以。」

『整数p＞1，当p只能被1与p整除时，p为质数。』

「1不是质数啊。的确，老师好像也是这样教的，我能懂学长写的定义了。但是……」

蒂蒂突然拾起头。

「我知道了，质数不包含1。不过我还是不能认同，为什么质数不能包含1呢？包含进去会有什么不合理的地方吗？我不懂质数不能包含1的rationale。」

「rationale？」

「就是正当的理由、原理的说明、理论的根据。」

喔～～这女孩也知道认同理由的重要性啊。

「……学长？」

「啊……抱歉。为什么质数不能包含1呢？很简单，是因为质因子分解的唯一性。」

「质因数分解的唯一性？唯一性是什么？」

「所谓质因数分解的唯一性就是指一正整数n的质因子分解只有一种。例如说24的质因子分解只有2×2×2×3一种。啊，在这里不考虑数字的排列顺序，像2×2×3×2或3×2×2×2之类，虽然顺序不同仍然视为同样的质因子分解。质因子分解的唯一性在数学里是相当重要的，为了要遵守这个性质，所以就定义1不能为质数。」

为了要遵守这个性质？因为这个原因就可以擅自定义吗？」

「可以的。虽然说擅自有点夸张……数学家会找出对构成数学世界有用的数学概念，然后将它命名，这就是定义。将概念清楚地规定下来，就能勉强算是定义了。但是，可以定义和这个定义能不能派上用场又是两回事。在你的定义里，质数包含1，会使质因子分解的唯一性消失。话说回来，你懂质因子分解的唯一性了吗？」

「唔，懂了……吧。」

「嗯～～为什么说『吧』？必须确定自己是否理解才行。」我特别强调了『自己』。

「要怎么确定自己是否理解了呢？」

「例如举个适当的例子来确定是否理解了。『举例是理解的试金石』。虽然举例并非定义，但是适当地举例也是一种很好的练习。」

『举例若质数包含1，则质因子分解的唯一性无法成立』

「原来是这样。假如质数包含1，则24的质因子分解，就会像这样有很多种……」

2×2×2×3

1×2×2×2×3

1×1×2×2×2×3

.

.

.

「是的。这就是质因子分解的唯一性无法成立的例子。」

我的话让蒂蒂松了一口气，

「但是与其说『很多种』，不如用『复数个』或『2个以上』的方式表现。这是因为……」

「……因为比较严密？」蒂蒂马上接下去。

「没错，『很多种』这种表达方式并不严密。几个以上算是很多？这样界线就很模糊。」

「学长……我似乎也要先整理一下我的脑袋才行了。关于『定义』、『举例』、『质数』、『质因子分解』、『唯一性』……还有严密的表达，在数学里用词也是很重要呢！」

「没错！你很聪明。在数学里语言是很重要的。要尽可能避免误会，所以数学才会使用严密的用语，而其中最严密的语言就是算式。」

「算式……」

「那么进入数学的语言——算式的话题吧。因为要用到黑板，我们到下面去。」

我走向大型教室的前方，蒂蒂则跟在后面，才刚走几步就听到一声」啊！」接着我的背后感受到一阵冲击。

「哇！」

「对……对不起。」

蒂蒂被楼梯绊倒，撞向我的背后，在两个人快要跌倒的时候，我总算站稳脚步，真危险。

2．5．2绝对值的定义

「……那么接下来，你知道绝对值吗？」我们面向黑板并排站着。

「嗯，应该知道。5的绝对值是5，－5的绝对值也是5，去掉负号就好了吧。」

「嗯～～那么我写出x的绝对值定义，你觉得这样可以接受吗？」我在黑板上列式。

※※x的绝对值|x|的定义

|x|＝x(x≥0的情况)

|x|＝－x(x＜0的情况)

「啊……这样表示的话，我就想到问题了。既然是x的绝对值，把负号拿掉还出现x不是很奇怪吗？」

「『把负号拿掉』以数学来讲是很暧昧的说法。虽然能够理解意思，也大致上符合定义。」

「那么『把负的变成正的』呢？」

「一样很暧昧。那么－x的绝对值是什么？」我在黑板上写下式子。

|－x|

「因为要把负号去掉，答案是x吧。所以说就是|－x|＝x。」

「不对，假如x＝－3的话呢？」

「咦？x＝－3的话……」蒂蒂也在黑板上演算。

|－x|＝|－(－3)|因为x＝－3

＝|3|所以－(－3)＝3

＝3最后|3|＝3

「假如像你说的|－x|＝x的话，x＝－3时，就会变成|－x|＝－3.可是实际上是|－x|＝3，所以才会变成|－x|＝－x。」

听着我的说明、看着黑板上的式子，蒂蒂细细思索。

「啊！原来如此，x也有可能是负的，这种状况的话，负负就会得正，我看到x就不自觉地想到3或5之类的正数了。」

「是啊，因为x前而并没有任何符号表示，所以通常不会想到x会等于－3之类的负数，但是这却很重要。特别使用x就是表示即使不用很多实例来说明，也可以具体地定义绝对值。『绝对值就是把负号拿掉』这种说法太过笼统，必须更进一步地确认才行，或许你可能会觉得在挑毛病，不过严密的思考是必要的，习惯这种严密的思考就能习惯算式，甚至是数学也说不定。」

蒂蒂在最前排找了个座位坐下，她一边用手指拨弄笔记本边缘，一边沉思。

而我则在等待她的发言。

「我的国中生活好像都浪费了。」

「怎么说？」

「我本来觉得我还算用功的。但是我不曾严密地读过课本里面的定义和算式。我的数学一定是念得很松散吧。」

她深深地叹了一口气，表现出一副很失望的样子。

「……我说你啊。」

「咦？」蒂蒂看向我。

「假如你真的这么想的话，从现在开始不就好了。过去的已经过去了，你是活在现在啊，把现在发现的事情在未来改变就可以了。」

蒂蒂突然睁开眼睛，然后站了起来。

「是……是啊，后悔过去的事也没用。迈向未来就好了……谢谢你，学长。」

「嗯，今天就先到这里为止吧，天色也渐渐暗了，接下来的下次再讲解。」

「接下来的？」

「嗯，我放学后大部分都会待在图书室，假如你有什么想问的，到那里找我就可以了，蒂蒂。」

她的眼中一瞬间浮现光辉，很高兴地露出微笑。

「好的！」

2．6回家的路上

「唉呀，下雨了。」

刚走出校舍门口的蒂蒂望向天空，乌云密布的天空开始下雨。

「你没带伞吗？」

「虽然有看天气预报，不过早上出门太赶，所以就忘记了。不过没关系，只是小雨，用跑的就好了。」

「这样到车站前就会淋湿了。反正顺路，而且我的伞也够大，一起走吧。」

「不好意思……谢谢学长。」

这似乎是我第一次跟女孩子共撑一把伞，我们漫步在柔和的春雨之中，虽然我有点不习惯，不过还是配合着她的步调渐渐地沉稳下来，或许是这阵雨吸收了城市的喧嚣，街道一片静寂。

今天跟她聊了一段时间，感觉很愉快，我也没想到竟然会有个崇拜自己的可爱学妹，和蒂蒂聊天很轻松，从她的表情就可以知道她有没有听懂。

「为什么学长会知道呢？」

「知道什么！？」

「就是……就是今天谈的那些数学，有关我不懂的部分，为什么学长会知道我哪里不懂呢？」

啊～～吓到我了，我还以为蒂蒂会心电感应。

「因为今天谈到的论题，也就是质数和绝对值的部分，我也曾经抱持疑问。读数学的时候，为不懂的地方感到困扰、在想了好久、读了很多书之后，才发现『啊，原来如此！』这是相当不错的体验，在累积这些体验后，会渐渐对数学产生兴趣，进而变得拿手。啊，在前面转弯吧。」

「转弯。是『TheBendintheRoad』吧……从这条路也能到车站吗？」

「嗯，从这里转弯、穿过住宅区会比较快到车站。」

「会比较快到吗？」

「是啊，早上从这里走也会比较快喔。」

咦？蒂蒂的速度突然慢了下来，是我走太快了吗？果然要配合步调不太容易。

到了车站。

「因为我等一下还要到书店去，就在这里说再见了。对了，伞先借你吧。」

「啊，就到这里吗？呃……这个……」

「嗯？」

「没……没什么事情。那伞我就收下了，明天我会还你的，今天真谢谢你。」

蒂蒂将两手放在前面深深地鞠躬。

2．7自家

夜晚。

我在房间里回想今天与蒂蒂的互动，她既纯真又有冲劲，之后应该会继续成长吧，要是能让她知道数学的乐趣就好了。

和蒂蒂说话的时候，我摆出的是教导者的姿态，这与米尔迦说话的时候有很大的不同。米尔迦始终都一直保持主动，或许该说是我一直被教导吧。

拿出米尔迦出的回家作业。竟然被同班同学出回家作业啊……

※※米尔迦的回家作业

请说明一正整数n，求其『因子和』的方法为何？

这个问题只要把n的全部因子找出来就好了。找出来之后再把它们加起来，就成『因子和』了。但是这种回答未免太过无趣，必须寻找更进一步的答案才行……嗯，先将整数n质因子分解。

用午休时1024＝2<10次方>的问题将题目稍微广义化，例如先将n以质数的乘幂表现。

n＝p<m次方>p为质数，m为正整数

当n＝1024时，上式变成p＝2，m＝10，用同样的方法思考1024的所有因子如下。

1，p，p<平方>，p<立方>，……，p<m次方>

所以在n＝p<m次方>的状况下，n的『因子和』求法如下。

(n的因子和)＝1＋p＋p<平方>，p<立方>＋……＋p<m次方>

以上，就能回答整数n＝p<m次方>的因子和了。

之后再广义化……就是这样，并没有那么难，只要用和质因子分解一样的写法。

正整数n通常能如下质因子分解，设p，q，r，……为质数，a，b，c，……为正整数。

n＝p<a次方>×q<b次方>×r<c次方>……×等一下！

等一下，使用英文字母的话无法做广义性的表现，假如指数部分用a，b，c，……表示的话，很快就会到达p，q，r……了。这样会使算式变得混乱。

要以2<立方>×3<1次方>×7<4次方>……×13<立方>这样的形式，也就是质数<正整数次方>的乘积书写。

……既然如此，那就这么做，质数以p<0>，p<1>，p<2>，……表示，而指数以a<0>，a<1>，a<2>，……a<m>表示。像这样以标记0，1，2，3，……，m书写，虽然算式会变得很复杂，但是可以做广义性的表现，在这里m＋1代表『将n质因子分解时质因数的个数』，可以改成这种写法……

正整数n可以如下质因子分解，其中p<0>，p<1>，p<2>，……，p<m>为质数，a<0>，a<1>，a<2>，……，a<m>为正整数。

n＝p<0><a<0>次方>×p<1><a<1>次方>×p<2><a<2>次方>×……×p<m><a<m>次方>

其中n为上述结构时，n的因子则以下列表示。

p<0><b<0>次方>×p<1><b<1>次方>×p<2><b<2>次方>×……×p<m><b<m>次方>

其中b<0>，b<1>，b<2>，……，b<m>为整数，且符合以下条件。

b<0>＝0，1，2，3，……，a<0>的其中任一数

b<1>＝0，1，2，3，……，a<1>的其中任一数

b<2>＝0，1，2，3，……，a<2>的其中任一数

b<m>＝0，1，2，3，……，a<m>的其中任一数

……嗯，虽然写得很完整，但是相当啰唆，简单来说就是质因子的指数随着0，1，2，……一直变化就是因子了，通常要广义化都需要很多的文字叙述。

而广义化到这里，接下来就简单了，只要把因子全部加在一起就是因数和。

(n的因数和)＝1＋p<0>＋p<0><平方>＋p<0><立方>＋……＋p<0><a<0>次方>

＋1＋p<1>＋p<1><平方>＋p<1><立方>＋……＋p<0><a<1>次方>

＋1＋p<2>＋p<2><平方>＋p<2><立方>＋……＋p<2><a<2>次方>

＋……

＋1＋p<m>＋p<m><平方>＋p<m><立方>＋……＋p<m><a<m>次方>(？)

……不对不对，这并不是『全部因子的和』，而是因子中按照质因子乘幂排列的数字和。实际的因子应该是像……

p<0><b<0>次方>×p<1><b<1>次方>×p<2><b<2>次方>×……×p<m><b<m>次方>

……将质因子的乘幂全部组合之后，挑选出来合并在一起，这才是正确的和。用语言说明很难理解，就用算式表达吧。

(n的因子和)＝(1＋p<0>＋p<0><平方>＋p<0><立方>＋……＋p<0><a<0>次方>)

(×1＋p<1>＋p<1><平方>＋p<1><立方>＋……＋p<0><a<1>次方>)

(×1＋p<2>＋p<2><平方>＋p<2><立方>＋……＋p<2><a<2>次方>

(×……

(×1＋p<m>＋p<m><平方>＋p<m><立方>＋……＋p<m><a<m>次方>

※※米尔迦的回家作业的解答

将正整数n如下做质因子分解。

n＝p<0><a<0>次方>×p<1><a<1>次方>×p<2><a<2>次方>×……×p<m><a<m>次方>

而其中p<0>，p<1>，p<2>，……，p<m>为质数，a<0>，a<1>，a<2>，……，a<m>为正整数，此时则由以下算式得n的因子和。

(n的因子和)＝(1＋p<0>＋p<0><平方>＋p<0><立方>＋……＋p<0><a<0>次方>)

(×1＋p<1>＋p<1><平方>＋p<1><立方>＋……＋p<0><a<1>次方>)

(×1＋p<2>＋p<2><平方>＋p<2><立方>＋……＋p<2><a<2>次方>

(×……

(×1＋p<m>＋p<m><平方>＋p<m><立方>＋……＋p<m><a<m>次方>

还能不能再写得更简洁一点呢？……嗯……不过这是答案没错。

2．8米尔迦的解答

「正确解答，虽然看起来很复杂。」

隔天米尔迦看到我的答案时很干脆地下结论。

「有办法写得更简洁吗？」

「可以。」米尔迦立刻回答，「首先，在和的部分可以用下面的式子代替，限定1－x≠0的状况下……」米尔迦一边回答，一边在我的笔记本上写下……

1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋……＋x<n次方>＝(1－x<n+1次方>)/1－x

「原来如此。」我说。这是等比数列的求和公式。」

「马上就可以证明。」米尔迦继续说。

1－x<n+1次方>＝1－x<n+1次方>两边是同一个算式

(1－x)(1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋……＋x<n次方>)＝1－x<n+1次方>将左式因子分解

1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋……＋x<n次方>＝(1－x<n+1次方>)/1－x两边同除1－x

「这样一来，你写的乘幂部分的和就全部变成分数了。然后积的部分就用∏。」

「∏是π的大写……」我说。

「对，但是这和圆周率没关系。∏(Product)是∑(Sum)的乘法形式。只是刚好积(Product)的第一个英文字母P的希腊文字是∏而已，而同样和(Sum)的第一个字母S的布腊文字是Σ一样，∏的定义式如下。」米尔迦继续讲解。

∏<k=0到m,f(k)>=f(1)×f(2)×f(3)×……×f(m)定义式

「用∏的话，积的部分就可以简洁地表示。」她说道。

※※米尔迦的解答

正整数n质因子分解如下。

n＝∏<k=0到m,p<k><a<k>次方>>

设pk为质数，ak为正整数。

此时则由以下算式得n的因子和。

(n的因数和)＝∏<k=0到m,(1－p<k><a<k+1>次方>)/(1－p<k>)>

「原来如此，虽然变短，不过文字也变多了。话说回来，米尔迦你今天会去图书室吗？」我问。

「不会，今天要去英英那里练习，她作出新曲子了。」

2．9图书室

「学长你看，我从国中的课本里把定义全部抄下来了。这样我就可以自己练习举例了。」

蒂蒂找到在图书室算数学的我，并笑着摊开笔记本。

「喔～～真厉害。」竟然一个晚上就做好了。

「我很喜欢做这个喔，就像做单字本一样……重新看过课本一次后我才发现，算数和数学有很大的不同点，就是式子里是否有文字，对吧，学长？」

2．9．1方程式与恒等式

「……那么，说到关于文字与数学公式的话题，就来谈谈方程式与恒等式。蒂蒂有解过这个方程式吧？」

x－1＝0

「啊，有的，答案是x＝1吧。」

「嗯，这样x－1＝0这个方程式就解开了。那这个方程式呢？」

2(x－1)＝2x－2

「好的，我列式算算看。」

2(x－1)＝2x－2这是题目

2x－2＝2x－2将左边展开

2x－2x－2＋2＝0再将右边移项

0＝0计算结果

「咦？变成0＝0了。」

「实际上2(x－1)＝2x－2这个算式不是方程式而是恒等式。将左边的2(x－1)展开，就会变成和右边的2x－2一样。也就是说，无论x代入任何数，这个算式都会成立。正因为它永远都成立，所以叫做恒等式，更精确的说法是对x的恒等式。」

「方程式与恒等式不一样吗？」

「不一样，所谓的方程式是『当x代入某数时，此算式成立』，而恒等式则是『无论x代入任何数，此算式皆成立』，两者相当不同，由方程式衍生出来的会是『求出能让此算式成立的某个数』这种问题，而恒等式衍生出来的则是『此算式是否代入任何数皆成立？』变成要证明是否为恒等式的问题。」

「原、原来如此，之前都没有注意到这种差别。」

「嗯，通常是不会注意到的，不过注意一下会比较好，毕竟大部分的公式都是以恒等式的形式出现。」

「有办法一看到算式，就知道它是否为恒等式吗？」

「有时候可以有时候不行，有时候也必须从叙述中判断，也就是说，必须去判断写这个算式的人到底是想要写方程式还是恒等式。」

「写算式的人……」

「当一个算式在变化的过程中，都算是恒等式，来看看这个算式。」

(x＋1)(x－1)＝(x＋1)×x－(x＋1)×1

＝x×x＋1×x－(x＋1)×1

＝x×x＋1×x－x×1－1×1

＝x<平方>＋x－x－1

＝x<平方>－1

「一直都用等号连接，像这样无论x代入任何数，等式都必然成立，也就是变成了一连串的恒等式，一步一步地慢慢来，最后就能得到下面这个恒等式。」

(x＋1)(x－1)＝x<平方>－1

「原来如此。」

「这一连串的恒等式就是为了要让人理解才把算式的变化像慢动作一样表现，所以不要有『啊，好多算式喔』这种负面想法，一步一步慢慢了解就好……知道了以后来试试看这个算式。」

x<平方>－5x＋6＝(x－2)(x－3)

＝0

「两个等号之中，第一个等号构成了恒等式，也就是『x<平方>－5x＋6＝(x－2)(x－3)对所有x皆成立』，而第二个等号则是构成方程式。因此上面这个算式全部代表『用(x－2)(x－3)＝0来代替x<平方>－5x＋6＝0求解的意思』。」

「喔～～原来是要这样理解啊……」

「除了方程式与恒等式，还有定义式。当一个复杂的式子出现时，将它赋予一个名字，进而简化式子，要赋予名字的时候就使用等号，定义式无法像方程式那样可以解开，也不用像恒等式一样需要证明，只要自己方便就可以了。」

「所谓的定义式，可以举个例子吗？」

「譬如将有点复杂的式子α(Alpha)＋β(Beta)赋予s这个名字。所谓命名——也就是定义——就像下面的式子。」

s＝α＋β定义式的例子

「学长，我有问题！」

蒂帮活泼地举起手，由于距离很近，即使不用举手也没关系，真是个有趣的女孩啊。

「学长，到这里我已经快不行了，为什么要用s呢？」

「其实用什么都可以。只是取个名字，不管是s还是t都行，当你定义s＝α＋β之后，后面要表示α＋β时只要用s来代替就可以，假如善用定义，就能将算式表现得清楚易懂。」

「我知道了，那α和β又是什么呢？」

「嗯，这是指在别的地方被定义的文字。当写成s＝α＋β的时候，一般就是指用等号左边的文字来将等号右边的算式命名，也就是说，在定义好α和β构成的算式中，可以用s取代。」

「定义式用什么名字都可以吗？」

「是的，基本上什么都可以，但是不能用已经被定义成其它意思的符号。举例来说，当已经定义s＝α＋β，倘若之后又定义s＝αβ，那阅读的人就会混乱了。」

「说得也是，这样就没有命名的意义了。」

「还有，若是使用常出现的符号，例如圆周率的π或是虚数单位i等等，也会变得很奇怪。当算式中出现新的符号时，先别急，可以先想想『啊，这是不是定义式呢？』。假如文中有出现像，『s定义为以下……』或是『使α＋β为s』之类的说明，那就一定是定义式了。」

「原来是这样……」

「是啊，蒂蒂。这次就试着找出数学的书中含有文字的等式吧，像方程式、定义式，或是其它的式子。」

「好的，我会试试看。」

「数学的书里有很多的算式，这些算式都是某人为了传达自己的想法写下的，这些算式的背后一定会有传达这些讯息的某人。」

「传达讯息的某人……」

2．9．2积的形成与和的形式

「接下来，在阅读算式的时候，注意算式整体的形式是很重要的。」

「整体的形式？是什么意思？」

「譬如这个方程式。」

(x－α)(x－β)＝0

算式的左边是乘法，也就是积的形式，一般来说，构成积的每个算式被称为因式或因数。

(x－α)(x－β)＝0

↑因式↑

「所谓的因式和因子，跟因式分解有关系吗？」

「有的，因式分解是将算式分解为积的形式，质因子分解则是分解成质数的积的形式。通常会将乘法的×号省略，所以下面3个算式的意思是一样的，都是相同的方程式。」

「有的，因式分解是将算式分解为积的形式，质因子分解则是分解成质数的积的形式。通常会将乘法的×号省略，所以下面3个算式的意思是一样的，都是相同的方程式。」

(x－α)×(x－β)＝0使用×的时候

(x－α)×(x－β)＝0使用×的时候

(x－α)(x－β)＝0省略的时候

「好的。」

「然后由于(x－α)(x－β)＝0，所以两个因式之中，至少会有一个等于0，这是因为积的形式导出来的结论。」

「我懂了，由于两数相乘结果为0，所以其中会有一个为0。」

「在叙述上，将『其中一个为0』用『至少会有一个为0』比较好，因为有可能两边都是0。」

「啊，『至少会有一个为0』也是一种严密的表现吗？」

「没错。那么，当两边至少会有一个为0，就表示x－α＝0或x－β＝0成立。换句话说，x＝α，β就是这个积方程式的解。」

「好的。」

「再来试着将(x－α)(x－β)展开，你觉得下面这个算式是方程式吗？」

(x－α)(x－β)＝x<平方>－αx－βx＋αβ

「不对不对，这是恒等式。」

「很好，展开之后就从积变成和了，左边是积的2个因式，右边是和的4个项。」

「项？」

「构成和的每一个式子称为项，为了让你容易懂，我用括号括起来，就像这样。」

从左向右转化：展开

(x－α)(x－β)＝(x<平方>)＋(－αx)＋(－βx)＋(αβ)

从右向左转化：因式分解

「不过这算式还没经过整理，看起来有点乱，你要怎么整理呢？」

x<平方>－αx－βx＋αβ

「是的，把－αx或－βx这一类带有x的……」

「不是『带有x』，要念成『项』喔。像－αx或－βx这些只含有一个x的项称为『对x的一次项』或是直接称为『一次项』。」

「好的，将『对x的一次项』整理过后就变成这样子了。」

x<平方>－(α＋β)x＋αβ

↑把1次项整合

「蒂蒂，你知道像上述把算式变形称为『整合同类项』吗？」

「我知道『整合同类项』，不过之前都没有特别留意。」

「那我继续出题，下一个算式是恒等式呢？还是方程式？」

(x－α)(x－β)＝x<平方>－(α＋β)x＋αβ

(x－α)(x－β)＝x<平方>－(α＋β)x＋αβ

「这是展开之后整合同类项，对所有x皆成立的话……是恒等式。」

「正确答案……那么再往前，首先思考这个方程式吧，这次是积的形式。」

(x－α)(x－β)＝0积的形式的方程式

「使用刚才的恒等式，将方程式变成下面这样。这就是和的形式的方程式。」

x<平方>－(α＋β)x＋αβ＝0和的形式的方程式

「这两个方程式虽然形状不同，却是同样的方程式，只不过是用恒等式将左边的算式改变型态而已。」

「是的。」

「当我们看到积形式的方程式时，就要想到方程式的解为x＝α，β，而和形式的方程式的解同样也是x＝α，β，毕竟是同样的方程式。」

(x－α)(x－β)＝0积的形式的方程式(答案是x＝α，β)

↑

↓

x<平方>－(α＋β)x＋αβ＝0和的形式的方程式(答案同样是x＝α，β)

「简单的二次方程式只要用看的就能解答，例如你比较下面这两个方程式，是不是长得很像？」

x<平方>－(α＋β)x＋αβ＝0(答案是x＝α，β)

x<平方>－5x＋6＝0

「的确很像。α＋β会等于5，αβ会等于6。」

「对，也就是说x<平方>－5x＋6＝0的解，只要找出两个数相加会等于5，相乘会等于6即可。换句话说，x＝2，3。」

「的确是这个答案。」

「积的形式与和的形式都是算式的形式之一。和的形式＝0有时并不容易解，但是积的形式＝0时就一目了然了。」

「……啊，好像有『懂的感觉』了，『解方程式』和『做出积的形式』有很大的关系吧？」

2．10数学公式的背后是谁？

「为什么学校的老师没办法像学长一样教得那么仔细呢？」

「因为我和你是在对话，当你有疑问的时候立刻问我，而我立刻回答，所以才会觉得比较好懂。因此才能一步一步地向前迈进，不要只是听老师上课，不懂的地方也可以请教老师……原本回答问题就是老师的专职啊。」

蒂蒂认真地听着我说话，然后像突然想到什么似说出：

「学长读书的时候碰到不懂的地方会怎么办？」

「嗯～～假如一直读都不懂的话，就在书上先做个记号，然后继续往下读，读一阵子之后，再回到原先做记号的地方读一次，再不懂，就再往下读，或是读其它的书，反复来回好几次，以前我有碰过无论怎么想都想不出来的算式展开，在经过四天的思考后认为绝对是它写错了，所以我就向出版社询问，结果真的是印错了。」

「好厉害……不过像这样慢慢想不是很花时间吗？」

「是很花时间、非常花时间，不过这是当然的。想想看，在算式背后都有一段历史，当我们在读算式的时候，就像是和无数的数学家格斗，会花时间理解是一定的。当我们展开一道算式，就是超越了几百年的时光；在我们面对算式时，我们都是个小小的数学家。」

「小小的数学家？」

「是啊，为了要成为数学家而仔细地阅读算式，不只是读，还要动手写。我时常都在怀疑自己是否真的理解了，所以我会用写的确认。」

蒂蒂点头兴奋地说：

「学长说的『算式就是语言』，我也感觉到了，在算式的背后有着某人想要传达给我的讯息，这个某人或许是学校的老师，或许是编写课本的人，也或许是几百年前的数学家……不知不觉间就会越来越想读数学了。」

蒂蒂仿佛怀抱梦想似地说出感想。

话说回来，蒂蒂在校门口叫住我，就是希望『想跟我谈谈』。

她边发出了「嗯～～」的声音边伸伸懒腰，然后仿佛自言自语地呢喃：

「啊～～、果然我的心被学长的话语……」

说到一半的她急忙用手捣住嘴巴。

「我的话语？」

「不……没事……什么事情都没有……」

蒂蒂的脸上染上了一片红色。

第3章ω的华尔兹(无名之声：这标题太美了)

数学的本质是自由。

——康托尔

3．1在图书室

来到夏天。

今天是期末考结束的日子，我正在图书室里推演算式，这时米尔迦进入图书室，笔直地向我走来。

「旋转？」她站在我身后看着我的记事本。

「嗯。」

米尔迦戴着金属框的眼镜，镜片上了一层薄薄的蓝色，这让我意识到眼镜后面那冷静的瞳孔。

「只要思考轴上的单位V式tor向哪里移动就能懂了，没必要记吧。」

米尔迦看着我说出结论，她的用语常常很直接，而且还有点怪，总是把向量用V式tor表达。（JoyJ：别问我，我也不知道这是什么东西）

「没关系，只是练习。」

「假如要推演算式的话，做两次θ的旋转就很有趣喔。」米尔迦在我旁边坐下，并靠近我的耳边小声地说，她的θ是用英文zeta发音，从舌头与齿间擦过的空气搔着我的耳朵。

「将θ旋转两次，然后将算式展开，再来思考『θ旋转两次就等于2θ的旋转』，可以得到两个关于θ的恒等式。」

米尔迦拿走我手上的笔，在笔记本的右端用小字写上两行式子，同时米尔迦的手也碰到了我的手。

cos2θ＝cos<平方>θ－sin<平方>θ

sin2θ＝2sinθcosθ

「这是什么？」

看着笔记本上的公式，我在心中回答着(两倍角公式)，但是却没有出声。

「不知道？这是两倍角公式啊。」

米尔迦站起身，我闻到了淡淡的橘子香。

她开始摆起教师的姿态，不等我回答就继续说下去，不过一直以来都是如此。

「将θ角的旋转表示在下面的式子。」米尔迦说。

◎◎◎

将θ角的旋转表示在下面的式子。（JoyJ：以下为诡异内容……一介高中生不懂，请多包涵）

|cosθ－sinθ|

||

|sinθcosθ|

『将θ角连续旋转2次』就相当于上式的平方。

|cosθ－sinθ|<平方>|cos<平方>θ－sin<平方>θ－2sinθcosθ|

||=| |

|sinθcosθ||2sinθcosθcos<平方>θ－sin<平方>θ|

所以『将θ角连续旋转2次』可以视为『旋转2θ』因此上面的式子就等于下面的式子。

|cos2θ－sin2θ|

||

|sin2θcos2θ|

比较算式的内容，可以得到以下两个等式。

cos2θ＝cos2θ－sin2θ

sin2θ＝2sinθcosθ

也就是说cos2θ与sin2θ可以用cosθ与sinθ表现，将2θ用θ表示的式子，就称为两倍角公式，将旋转以算式呈现并重新解释其中的内容，就可以导出两倍角公式。

用等号表示『2θ旋转一次』与『θ旋转2次』两者相同，发现两种姿态其实是同样的东西时，是一件多美好的事情啊。

◎◎◎

听着米尔迦说话的同时，我的脑袋在思考着另外一件事情。聪明的女孩，美丽的女孩，当注意到两者其实是同一个人时，是一件多美好的事情啊。(无名之声：专心学你的数学吧，人渣。话说高中就懂等距变换，这人难道是搞数学奥赛的？)（JoyJ:我求真相，我求等距变换真相==）

然而我仍旧不发一语，默默地听着米尔迦说话。

3．2振动与旋转

先不管之前的算式……米尔迦边说边在我的笔记本中写下了这样的问题。

※※问题3－1

用n表示下列一般项a<n>。

n01234567……

a<n>10－1010－10……

「解得出来吗？」

「很简单啊，数列在1，0，一1之间来回，或是说成振动比较好？」我回答。

「喔，原来你是这样看这个数列的。」

「不对吗？」

「不，你的想法没错，那么……请将这个『振动』用一般项表现出来。」

「一般项……也就是说用n表示a<n>就行了吧。嗯，将状况分类的话就马上有答案了。」

a<n>=1 (n=0,4,8…,4k,…)

a<n>=0(n=1,5,9…,4k+1,…)

a<n>=－1(n=2,6,10…,4k+2,…)

「嗯，是没错，不过这样就不像振动了。」

米尔迦闭上双眼，食指左右摇晃。

「那么接下来思考这个问题，要怎么化成一般项呢？」她张开眼睛问着。

※※问题3－2

用n表示下列一般项b<n>。

n01234567……

b<n>1i－1－i1i－1－i……

「i是指<根号－1>吗？」我提出问题。

「除了虚数单位以外还有别的i吗？」

「不……算了，先不管这个。这个数列b<n>在n为偶数时是＋1或－1，当n为奇数时为＋i或－i，这也是振动的一种吗？」

「当然不是，你将这个数列当成是振动？」

「除此之外还有别的理解方式吗？」我问。

米尔迦在闭上眼的一瞬间回答。

「用复数平面思考看看吧。复数平面就是x轴是实数轴，y轴是虚数轴的坐标平面，这样的话，全部的复数都能在这平面上以点来表现。」

复数数←→点

x＋yi←→(x，y)

将问题3－2的数列b<n>用复数的列思考的话，1就是1＋0i，i就是0＋1i。

1＋0i，0＋1i，－1＋0i，0－1i，1＋0i，0＋1i，－1＋0i，0－1i，……

将数列bn在复数平面上以点来表示，就会出现这样的图。

(1，0)，(0，1)，(－1，0)，(0，－1)，(1，0)，(0，1)，(－1，0)，(0，1)，……

[插图：平面直角坐标系，描出四点(1，0)，(0，1)，(－1，0)，(0，－1)]

「啊，原来如此。就会在菱形……应该说是正方形的顶点间移动啊。」我一边说一边在圆上画线。

[插图：平面直角坐标系，描出四点(1，0)，(0，1)，(－1，0)，(0，－1)，逆时针顺次以直箭头连接，即(1，0)→(0，1)，(0，1)→(－1，0)，(－1，0)→(0，－1)，(0，－1)→(1，0)。最终箭头构成一个完整的菱形]

「喔，你将点连成这种图形啊，确实这样也可以。」

「除了正方形之外还有别的图形吗？」我问。

「你的脑袋出乎意料地硬呢，这种图形呢？」米尔迦回答。

[插图：平面直角坐标系，描出四点(1，0)，(0，1)，(－1，0)，(0，－1)，逆时针顺次以弯箭头连接，即(1，0)→(0，1)，(0，1)→(－1，0)，(－1，0)→(0，－1)，(0，－1)→(1，0)。最终箭头构成一个完整的圆形]

「是圆……」

「没错，是圆，半径为1的单位圆，在复数平面上以原点为中心的单位圆，这是将复数的列表现成单位圆上的点。」

「单位圆……」

「通常单位圆上的点会以这样的复数来表示。」

cosθ＋isinθ

「唔……对了，θ就是单位向量(1，0)的旋转角啊。」

[插图：平面直角坐标系，描出(1，0)，在第一象限描出任意一点(cosθ,sinθ)。连接(cosθ,sinθ)与原点，这条线与x轴正半轴所成的角为“幅角θ”]

「没错。我们称θ为幅角，复数与点的对应关系就像……」

复数数←→点

cosθ＋isinθ←→(cosθ，sinθ)

「将问题3－2的数列视为将正方形……不……将圆周四等分的点。要如何表现这四个等分点呢？」米尔迦对我说。

「θ为90度……也就是说以每弧度π/2增加就行了，幅角为θ＝0，π/2，π，3π/2，……也就是说下面四个复数为圆的四个等分点。」我回答。

cos0(π/2)＋isin0(π/2)

cos1(π/2)＋isin1(π/2)

cos2(π/2)＋isin2(π/2)

cos3(π/2)＋isin3(π/2)

「没错。如此一来，数列bn的一般项就可以表示成下面的式子。」米尔迦说。

※※解答3－2

bn＝cosn(π/2)＋isinn(π/2)(n＝0，1，2，3，……)

「然后再回到问题3－1的an。」

a<n>＝1，0，－1，0，1，0，－1，0，……

「你说an的1，0，－1是振动吧，其实那个问题也可以用一样的思考方式解决。」

※※解3－1

a<n>＝cosn(π/2)(n＝0，1，2，3，……)

「咦……为什么？」

「可以用图形来思考，试着将刚才bn那四个等分点投影到实数轴，就可以看到振动的样子，所以说『振动是旋转的影子』。」

[插图：平面直角坐标系，描出四点(1，0)，(0，1)，(－1，0)，(0，－1)，逆时针顺次以弯箭头连接，即(1，0)→(0，1)，(0，1)→(－1，0)，(－1，0)→(0，－1)，(0，－1)→(1，0)。最终箭头构成一个完整的圆形。之后，在此图下画实数轴，在(1，0)、(－1，0)、(0，－1)处作三条竖直线段投影到实数轴上]

「数列a<n>可以有很多种不同的看法，可以当成『单纯的整数排列』，或是『在实数的在线振动的点』，以及『在复数平面上旋转的点』，当你意识到看见的是投影在一次元在线的影子时，你就能想象出在二次元的圆。当意识到所见的是投影时，就能发现更高次元的结构。但是通常并不容易被发觉。」

「……」

「从整数到实数的数线，再从数线到复数平面，不断地思考更高的次元。于是表现就变得简单明了，可以说越简单明了，就越象征『理解』吧。给予一部分的数列，然后思考下一个数，这并不单只是谜题，而是要探究隐藏在一般项之后的结构。」

我说不出话。

「必要的是眼睛，然而不是这个眼睛……」

米尔迦边说边指了指自己的眼睛。

「要看穿结构，需要的是心眼。」

3．3ω的华尔兹

「那么，下个问题。」米尔迦说。

※※问题3－3

用n表示下例一般项c<n>

n012345……

c<n>1(－1+<根号3>i)/2(－1－3<根号3>i)/21(－1+<根号3>i)/2(－1－3<根号3>i)/2……

「这是什么数列？」我说。

「嗯，你还不知道吗？」

这个时候的她并不是在轻视我，而是直率地表现出她的惊讶，就像『你真的不知道你右手的手指是五根吗？』这种讶异的感觉。

然而她的惊讶也让我感到羞愧，不过我将这样的感情放在一旁，回到数学的话题上。

「假如我说『1，(－1+<根号3>i)/2，(－1－<根号3>i)/2这3个数会不断地重复出现』这种没意义的答案可以吗？」我一边小心注意她的表情一边回答。

「毫无意义的答案。没解答谜题、没认清结构、没抓住本质。」她回答得干净利落。

「……那这个数列的本质是？」

「本质就是1，(－1+<根号3>i)/2，(－1－<根号3>i)/2这3个数有什么意义，虽然就只是这样，不过你不知道这3个数的话，就从一般调查数列的方法开始。」米尔迦说。

一般调查数列的方法……那就试试看等差数列吧。」我开始在笔记本上写下。

对数列c<n>，用以下方法求数列d<n>。

d<n>＝c<n＋1>－c<n>(n＝0，1，2，……)

c<0>c<1>c<2>c<3>c<4>c<5>……

|/|/|/|/|/

d<0>d<1>d<2>d<3>d<4>……

以c<1>－c<0>，c<2>－c<1>，c<3>－c<2>，……的顺序计算求得<dn>

n0123……

dn(－3+<根号3>i)/2－<根号3>i(3+<根号3>i)/2－3+<根号3>i)/2……

嗯，还是完全不懂。

「知道了吗？」米尔迦问道，这种时候的米尔迦反而会不可思议地很有耐心，若是解决之道就在眼前的话，她就会一口气向前冲，但是还在摸索时，她就不会着急。

「……还不晓得。」我老实回答。

「你调查数列的工具就只有等差数列吗？」她笑着说。

「除了差就剩比例了。」我回答。

「那就快试试看吧。」

是、是……这次换思考e<n>＝(c<n＋1>)/(c<n>)的e<n>数列，由于c<n>不是0，所以不用担心除数是0。计算结果是……

n012……

e<n>(－1+<根号3>i)/2(－1+<根号3>i)/2(－1+<根号3>i)/2……

「喔～～！！」结果全部都是，我兴奋地握着拳头。

「你在惊讶什么？」

「因为用比例求出来的数都一样……」

「对吧。数列c<n>就是第一项为1，公比为(－1+<根号3>i)/2的等比数列。实际上1，(－1+<根号3>i)/2，(－1－3<根号3>i)/2这3个数的3次方都是1喔。也就是说，这3个数都满足……

x<立方>＝1

这个三次方程式。

「满足x<立方>＝1……」

「对，因为x<立方>＝1是三次方程式，所以满足它的复数根有3个。你知道这个方程式的解吗？」米尔迦问。

「嗯，应该知道。知道x＝1的话，就可以把(x－1)因式分解。」我说。

x<立方>＝1问题的方程式。

x<立方>－1＝0将1往左边移项，右边成为0。

(x－1)(x<立方>＋x＋1)＝0将左边因式分解。

「然后呢？」米尔迦说。，

「然后再将x<立方>＋x＋1＝0带入二次方程式ax<立方>＋bx＋c＝0的解法公式x＝－b±<根号(b<平方>－4ac>)就可以解出来了。」我一边说一边计算。

x＝1，(－1+<根号3>i)/2，(－1－3<根号3>i)/2

听到我的说明，米尔迦点了点头。

「没错，现在将复数(－1+<根号3>i)/2设为ω。」

ω＝(－1+<根号3>i)/2

「ω<平方>＝(－1－3<根号3>i)/2……」

ω<平方>＝((－1－3<根号3>i)/2)<平方>

＝(－1－3<根号3>i)<平方>/2<平方>

＝((－1)<平方>－2<根号3>i+(<根号3>i)<平方>)/4

＝(1－2<根号3>i－3)/4

＝(－2－2<根号3>i)/4

＝(1－<根号3>i)/2

「将1后面乘上ω的话，就会变成这样的数列。」米尔迦在笔记本上接下去写。

1，ω，ω<平方>，ω<立方>，ω<4次方>，ω<5次方>，……

因为ω3＝1，所以这个数列又能写成下面的模样。

1，ω，ω<平方>，1，ω，ω<平方>，……

「简单来说，1，ω，ω<平方>，，1，ω，ω<平方>，……就等于c<n>。来，将这三个数(1，ω，ω<平方>)标在复平面上，快点快点。」

米尔迦似乎很高兴。

[插图：平面直角坐标系，描出四点(1，0)，(0，1)，(－1，0)，(0，－1)，逆时针顺次以弯箭头连接，即(1，0)→(0，1)，(0，1)→(－1，0)，(－1，0)→(0，－1)，(0，－1)→(1，0)。最终箭头构成一个完整的圆形。之后以直箭头顺次连接(1，0)，(－1/2，<根号3>i/2)，(－1/2，－<根号3>i/2)]

「喔……出现了正三角形啊。」

「从周期性联想到圆是很自然的，从圆中寻找不断重复的来源也是很自然的，只看到实数线的人会以『振动』表现，而以复数平面观察的人会注意到『旋转』，并注意到这隐藏的结构，对吧？」

米尔迦的脸上泛上红潮，话也跟着变多。

※※解答3－3

c<n>＝ω<n次方>(n＝0，1，2，3，……)

但是ω＝(－1+<根号3>i)/2

「到这里为止已经谈过了4平分点与正方形，3平分点与正三角形，再来就是要将他们广义化，变成n平分点与正n边形了，这就是隶美弗定理的过程。」

※※隶美弗定理(无名之声：又称棣莫弗定理)

(cosθ＋isinθ)<n次方>＝cosnθ＋isinnθ

「隶美弗定理主张『复数cosθ＋isinθ的n次方会变成复数cosnθ＋isinnθ』。从图形的观点来看的话，就是『在单位圆上，θ旋转n次会等于nθ的旋转』，你应该能看到在算式的背后有单位圆上的点在旋转才对。」米尔迦用手指指着我，并开始绕起圈圈。

「当隶美弗定理中n＝2的时候，就得到了两倍角公式。」

(cosθ＋isinθ)<n次方>＝cosnθ＋isinnθ隶美弗定理

(cosθ＋isinθ)<平方>＝cos2θ＋isin2θ使n＝2

cos<平方>θ＋i×2cosθsinθ－sin<平方>θ＝cos2θ＋isin2θ将左边展开

(cos<平方>θ－sin<平方>θ)＋i×2cosθsinθ＝cos2θ＋isin2θ将左边整理

「之后再将两边的实部与虚部用等号连结。」

(cos<平方>θ－sin<平方>θ)＋i×2cosθsinθ＝cos2θ＋isin2θ

实部 虚部实部虚部

「就得到了两倍角公式。」米尔迦说。

cos<平方>θ－sin<平方>θ＝cos2θ实部

2sinθcosθ＝sin2θ虚部

「你不是正在θ的旋转中畅游吗？既然是畅游，就将旋转的点化成图形、三角函数与复数数列一起享受不是更好吗？」

我被米尔迦的气势压倒，完全说不出话来。

「你从发现了单位圆的3个平分点ω<立方>＝1开始，接着发现2π/3的幅角、复数平面上的正三角形，还有ω产生的三拍子旋转，也在复数平面上看到了1，ω，ω<平方>的三人舞蹈……」

米尔迦一口气把话说完，然后露出笑容。

「你看见……ω的华尔兹了吗？」(无名之声：看到了！3/4拍的华尔兹～三步三步地绕圈子～数学绝对是一门美学>。<)

第4章斐波那契数列与生成函数

就我们所知，操作无穷级数来生成数列，

是使用数列最有力的方法。

——葛理翰／柯努斯／巴塔希尼克(陈衍文谭／儒林出版社)『具体数学』[21]

4．1图书室

现在是高二的秋天，我在放学后图书室教学妹——蒂蒂数学，目前正在展开一项简单的算式。

(a＋b)(a－b)＝(a＋b)a－(a＋b)b

＝aa＋ba－ab－bb

＝a<平方>－b<平方>

我将(a＋b)(a－b)展开成a<平方>－b<平方>后，向她说明可以把『两数和与差的积等于两数平方的差』这公式记下来，而她则是回答「我懂了，听了学长的教学，感觉原本零碎的知识都整合起来了」这句话。

米尔迦此时正好走进图书室，并直接走近我们，接着她突然踢开蒂蒂的椅子，巨大的声响让图书室里的人都往我们看过来，蒂蒂慌忙站起身，并被米尔迦瞪着直到她离开图书室，而我就这样呆站着目送蒂蒂出去。

米尔迦像没事一样扶好椅子坐下，目光瞄向笔记本，然后拉了拉我的袖子要我坐下，等到我坐下后，米尔迦问：

「推演算式？」

我回答因为学妹有问题所以教她……

米尔迦哼了一声，还将我手里的自动铅笔拿走，在笔记本上不停写着，然后说：「来寻找规律吧。」

4．1．1寻找规律

「来寻找规律吧。」最先是(1＋x)(1－x)的展开，这是(a＋b)(a－b)的特殊状况。

(1＋x)(1－x)＝(1＋x)×1－{1＋x)×x

＝(1＋x)－(x＋x<平方>)

＝1＋(x－x)－x<平方>

＝1－x<平方>

接下来将算式(1＋x)(1－x)中的(1＋x)以(1＋x＋x<平方>)代入。

(1＋x＋x<平方>)(1－x)＝(1＋x＋x<平方>)×1－(1＋x＋x<平方>)×x

＝(1＋x＋x<平方>)－(x＋x<平方>＋x<立方>)

＝1＋(x－x)＋(x<平方>－x<平方>)－x<立方>

＝1－x<立方>

规律很明显，中间项都消去了，只剩下三次项和常数项，用笔算的话会更容易理解，例如(1＋x＋x2＋x3)(1－x)会变成下列所示，明显地只剩下两项。

1＋x＋x<平方>＋x<立方>

×1－x——

－x－x<平方>－x<立方>－x<4次方>

1＋x＋x<平方>＋x<立方>——

1－x<4次方>

将其广义化，令n为0以上的数，之后则如下所示。

(1)(1－x)＝1－x1

(1＋x)(1－x)＝1－x<平方>

(1＋x＋x<平方>)(1－x)＝1－x<立方>

(1＋x＋x<平方>＋x<立方>)(1－x)＝1－x<4次方>

.

.

.

(1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋x<4次方>＋……＋x<n次方>)(1－x)＝1－x<n次方>＋1

◎◎◎

……原来如此，不过这并没有想象中有趣，是很常见的展开与广义化，比起这个，我更在意刚刚被踢椅子的蒂蒂现在的状况，米尔迦却说出『到这里为止都很普通』后，就继续写下去。

4．1．2等比数列的和

「到这里为止都很普通。」那么接下来会怎么进行呢？将刚才的算式再写一次。

(1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋x<4次方>＋……＋x<n次方>)(1－x)＝1－x<n次方>＋1

在这里将两边同除1－x，由于0不能当除数，所以假设1－x≠0。

1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋x<4次方>＋……＋x<n次方>＝

到刚才为止都是关于『求积的公式』，而现在则是『求和的公式』:实际上，这就是等比数列的求和公式，说得更清楚一点，是第0项为1，公比为x的等比数列，也就是1，x，x<平方>，x<立方>，……，x<n次方>，……这个数列从第0项到第n项的和。

「那么，接下来要怎么发展呢？」

◎◎◎

……我则是回答『会自然想到等比数列的无穷级数吧』，不是到第n项为止的有限和，而是无限的和。「是啊。」米尔迦微笑着回答我。

4．1．3迈向无穷级数

「是啊，思考无穷级数吧。」

无穷级数1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋……，被定义为这个等比数列部分和的极限。

1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋x<4次方>＋……＋x<n次方>＝(1－x<n+1次方>)/(1－x)

当x的绝对值小于1，也就是|x|＜1时，使n→∞的话，会让x<n次方>＋1→0，也就是下式成立。

1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋……＝1/(1－x)

这样就得到了无穷级数的公式，|x|＜1是为了在n→∞时，让x<n次方>＋1→0必要条件。

※※等比数列的无穷级数(等比级数的公式)

1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋……＝1/(1－x)

这是第0项为1，公比为x的等比级数，且|x|＜1。

「你不觉得很有趣吗？左边是无穷数列的和，有无限个项，而且还无法全部写出来。可是相对的，右边却只有一个分数，无数项的和竟然以一个分数表现就可以了，这不是简洁到令人愉快吗？」

◎◎◎

……窗外已经渐渐暗了下来，图书室里只剩下我和米尔迦，米尔迦似乎是兴致来了，不等我回答就接着说：「接下来就继续朝生成函数前进吧。」

4．1．4迈向生成函数

「接下来就继续朝生成函数前进吧。」

以后就省略了收敛的条件，首先将刚才等比级数的无穷级数当成x的函数思考。

1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋……

在这里为了要让此函数的n次系数更明显，所以将系数写出来。

1x<0次方>＋1x<1次方>＋1x<平方>＋1x<立方>＋……

像这样，各系数就形成了1，1，1，1，……的无穷数列，接下来的对应是……

数列←→函数

1，1，1，1，……←→1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋……

也就是说，数列〈1，1，1，1，……〉与1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋……函数可以当成是一样的，由于1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋……＝1/(1－x)，所以将其如下置换。

数列←→函数

1，1，1，1，……←→1/(1－x)

这种数列与函数的对应可以如下广义化。

数列←→函数

〈a<0>，a<1>，a<2>，a<3>，……〉←→a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>＋a<3>x<立方>＋……

这种与数列对应的函数称为生成函数，就是将分散的无数项集合成一个函数，生成函数即是x乘幂的无限和，也就是被定义为幂级数……

◎◎◎

……说到这里，米尔迦意外地安静下来，她像在思索似地保持沉默闭上双眼、缓缓地呼吸。

为了不打扰她，我只是在一旁静静地看着，看着她嘴唇美好的曲线、数列与对应的函数、金属框的眼镜、等比数列的无穷级数……以及生成函数。

米尔迦张开双眼。

「现在是在思考数列与对应的生成函数……吧？」米尔迦以温柔和缓的声音说着，」若是能求出生成函数的闭公式，则此闭公式也会与数列对应。」

「所以我稍微想了一下……」她说着说着，声音也像是在透露不能被别人知道的宝藏场所一样渐渐变小，并将脸靠近我，可以闻到她身上淡淡的橘子香。

「从现在开始，要在两个国度间来回奔跑。」米尔迦细语。

为了不听漏这些秘密的话语，我竖起耳朵，不过……两个国度？

「我想抓住数列，但是要直接抓住是很困难的，这时候就要从『数列的国度』到『生成函数的国度』，之后再回到『数列的国度』，这样或许就能抓到数列……」

「现在是闭校时间。」

突如其来的声音让我们都吓了一跳，凑在一起专心讨论的我们完全没有注意到图书管理员瑞谷老师站在我们身后。

※※数列与生成函数的对应

数列←→函数

〈a<0>，a<1>，a<2>，a<3>，……〉←→a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>＋a<3>x<立方>＋……

4．2抓住斐波那契数列

这是我们往附近的饮料店移动，点了饮料后继续数列的话题，「抓住数列？什么意思？两个国度又是什么？」对于我的疑问，米尔迦用手扶正眼镜，说了声「是啊」后开始讲解。

4．2．1斐波那契数列

「是啊，这比喻是稍微异想天开了点。『在两个国度间来回抓住数列』就是『使用生成函数求出数列的一般项』的意思。」

现在来看看旅行地图吧，首先先求与数列对应的生成函数，再来将生成函数变形做出闭公式，然后将闭公式以幂级数展开求取数列的一般项，也就是说，经由生成函数可以发现数列的一般项。

※※『使用生成函数求出数列的一般项』的旅行地图

数列→生成函数

↓

数列的一般项←生成函数的闭公式

那么就以典型的斐波那契数列来思考，你知道斐波那契数列吧。

{0，1，1，2，3，5，8，……}

这是将临接的两项相加而得到下一个数的数列。

0，1，0＋1＝1，1＋1＝2，1＋2＝3，2＋3＝5。3＋5＝8，……

虽然也有从1开始的情况，不过现在就从0开始。

将斐波那契数列的一般项设为F<n>F<0>等于0，F<1>等于1，当n≥2时，F<n>＝Fn－2＋F<n－1>，也就是说F<n>被定义为一种递推公式。

※※斐波那契数列的定义(递推公式)

F<n>＝0(n＝0)

F<n>＝1(n＝1)

F<n>＝Fn－2＋F<n－1>(n≥2)

这个定义能将斐波那契数列『相邻的两项相加而得到下一个数』的特性充分展现，而且如同F<0>，F<1>，F<2>，……一样，斐波那契数列可以用计算循序渐进算出答案，但是并无法表现出F<n>为『对n的闭公式』，也就是F<n>并不是直接使用n的式子，这就是我所说『未捕捉』的状态。

当问题是「斐波那契数列的第1000项为何？」时，就必须以F<0>＋F<1>求得F<2>，F<1>＋F<2>求得F<3>，持续计算到F<998>＋F<999>最后得出F<1000>，要用递推公式求斐波那契数列就必须经过n－1次的加法，这样太麻烦了，我希望能以F<n>表示『对n的闭公式』，『对n的闭公式』概略来讲就是『将已知的计算过程在有限的次数内组合而成的公式』。

我希望以F<1>表示『对n的闭公式』，来抓住斐波那契数列。

※※问题4－1

以斐波那契数列的一般项F<n>表示『对n的闭公式』。

4．2．2斐波那契数列的生成函数

那么，将斐波那契数列对应的生成函数当作F(x)，也就是说，对应关系如下：

数列←→生成函数

F<0>，F<1>，F<2>，F<3>，……F(x)

将F(x)的系数x<n>设为F<n>，可以具体地写成下列算式，这样我们就到了生成函数的国度了。

F(x)＝F<0>x<0次方>＋F<1>x<1次方>＋F<2>x<平方>＋F<3>x<立方>＋F<4>x<4次方>＋……

＝0x<0次方>＋1x<1次方>＋1x<平方>＋2x<立方>＋3x<4次方>＋……

＝x＋x<平方>＋2x<立方>＋3x<4次方>＋……

接着要调查函数F(x)的性质，由于函数F(x)的系数Fn是斐波那契数列，活用这一点似乎就可以看出关于函数F(x)的有趣性质。

斐波那契数列的性质是什么？当然是递推公式F<n>＝F<n－2>＋F<n－1>，要好好利用这个公式，F<n－2>，F<n－1>，F<n>，这些系数则在F(x)如下登场。

F(x)＝……＋Fn－2－2x<n－2次方>＋F<n－1>x<n－1次方>＋F<n>x<n次方>＋……

虽然想将Fn－2跟F<n－1>相加，但是由于x的次数不同而无法相加，到底该怎么办？

◎◎◎

……米尔迦看向我。嗯，的确，x的次方不同的话就无法相加，数不同就无法整合，不过本来数列与生成函数的对应，就是要避免x的次数混淆吧？数列与生成函数要如何对应，真的会有这么有趣的事情发生吗？米尔迦马上说出『很简单』这句话。

4．2．3求闭公式

「很简单。」

x的次方不同的话，就将不是的部分补上x就好了，乘法在指数上就变成加法，也就是所谓的指数法则。

x<n－2次方>×x<平方>＝x<n－2+2次方>＝x<n次方>

将F<n－2>x<n－2次方>乘以x<平方>就会变成Fn－2x<n次方>，照下面算式就能全部整合成x<n次方>，为了方便整合，这里将1视为x<0次方>。

F<n－2>x<n－2次方>×x<2>＝F<n－2>x<n次方>

F<n－1>x<n－1次方>×x<1>＝F<n－1>x<n次方>

F<n－0>x<n－0次方>×x<0>＝F<n－0>x<n次方>

这样就能对函数F(x)使用斐波那契数列的递推公式了，分别观察F(x)乘以x<平方>，x<1次方>，x<0次方>的式子吧。

式子A：F(x)×x<平方>＝＋F<0>x<平方>＋F<1>x<立方>＋F<2>x<4次方>＋……

式子B：F(x)×x<1次方>＝＋F<0>x<1次方>＋F<1>x<平方>＋F<2>x<立方>＋F<3>x<4次方>＋……

式子C：F(x)×x<0次方>＝F<0>x<0次方>＋F<1>x<1次方>＋F<2>x<平方>＋F<3>x<立方>＋F<4>x<4次方>＋……

这样次方就整合了，展开式A，B，C进行接下来的计算，如此一来，同次方的系数就可以使用F(x)的递推公式。

式子A＋式子B－式子C

计算的时候，将左边如下处理。

(左边)＝F(x)×x<平方>＋F(x)×x<1次方>－F(x)×x<0次方>

＝F(x)×(x<平方>＋x<1次方>－x<0次方>)

然后右边如下。

(右边)＝F<0>x<1>－F<0>x<0次方>－F<1>x<1次方>

＋(F<0>＋F<1>－F<2>)×x<平方>

＋(F<1>＋F<2>－F<3>)×x<立方>

＋(F<2>＋F<3>－F<4>)×x<4次方>

＋………………

＋(F<n－2>＋F<n－1>－F<n>)×x<n次方>

＋……

右边留下一开始的F<0>x<1次方>－F<0>x<0次方>－F<1>x<1次方>，其它会被全部消去，这是因为依照斐波那契数列的递推公式，F<0>x<1次方>－F<0>x<0次方>－F<1>x<1次方>会等于0。可以爽快地将它们消掉。

已经不需要用x<0次方>或x<1次方>这种麻烦的写法了，回到1与x，然后用F<0>＝0与F<1>＝1代入，会得到下列式子。

F(x)×(x<平方>＋x－1)＝－x

将两边同除x<平方>＋x－1后整理，就得到F(x)的闭公式，这就是F(x)的模样。

F(x)＝x/(1－x－x<平方>)

斐波那契数列的生成函数可以变成如此单纯的闭公式真是令人愉快，毕竟这个算式中可是包含了无限延伸的斐波那契数列，很简洁吧。

0，1，1，2，3，5，8，……←→x/(1－x－x<平方>)

※※斐波那契数列的生成函数F(x)的闭公式

F(x)＝x/(1－x－x<平方>)

4．2．4用无穷级数表示

接下来我们思考斐波那契数列的生成函数F(x)，将F(x)的闭公式以x的无穷级数表示的话，其n次的系数应该就会变成Fn。

「所以说，下一个目标就是将下式以x的无穷级数表现。

x/(1－x－x<平方>)

我们之前曾将分数形式的下式化成x的无穷级数。

1/(1－x)＝1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋……

所以，是否能将x/(1－x－x<平方>)化成与1/(1－x)类似的形式呢？假如可以的话，我们就能从生成函数的国度回到数列的国度了，还会带着斐波那契数列的一般项当作土产，到底有没有办法呢？」

◎◎◎

……米尔迦偷偷往我看来。对了，再来将生成函数F(x)以无穷函数的形式表示的话，就能得到斐波那契数列的一般项吧，我专注在生成函数的形式上，想将它的构造看透。

F(x)＝x/(1－x－x<平方>)

分母1－x－x<平方>为二次式，总之先将1－x－x<平方>因式分解看看，我开始在笔记本上计算，米尔迦只是看着我动笔。

假设未知的定数r，s，可将1－x－x<平方>如下因式分解。

1－x－x<平方>＝(1－rx)(1－sx)

当如上因式分解后，就可以如下让分数和在通分时，刚好使分母为1－x－x<平方>。

1/(1+rx)+1/(1－sx)=某数/(1－rx)(1－sx)

=某数/(1－x－x<平方>)

为了让此计算式等于x/(1－x－x<平方>)，就必须决定r，s，来试着计算看看。

1/(1+rx)+1/(1－sx)＝(1－sx)/(1－rx)(1－sx)+(1－rx)/(1－rx)(1－sx)

＝(2－(r+s)x)/(1－(r+s)x+rsx<平方>)

嗯，好好选择r，s的话，分母1－(r＋s)x＋rsx<平方>这边似乎可以变成1－x－x<平方>，但是分子2－(r＋s)x的部分无法变成x，原因是常数项的2无法消掉。虽然很可惜，然而还是不行，真遗憾……

在我低喃的同时，米尔迦却说出『这样的话，之后就没问题了』这句话。

4．2．5解决

「这样的话，之后就没问题了。」

将分子也代入参数，也就是说，代入R，S，r，s这4个未知常数形成一列式……

R/(1－rx)+S/(1－sx)

然后计算。

R/(1－rx)+S/(1－sx)＝R(1－sx)/(1－rx)(1－sx)+S(1－rx)/(1－rx)(1－sx)

＝((R+S)－(rR+sS)x)/(1－(r+s)x+rsx<平方>)

为了让下式成立，要决定R，S，r，s这4个常数。

((R+S)－(rR+sS)x)/(1－(r+s)x+rsx<平方>)＝x/(1－x－x<平方>)

比较两边结构，会发现只需要解出以下的联立方程式即可。

R＋S＝0

rS＋sR＝－1

r＋s＝1

rs＝－1

有四个未知定数与四个独立的式子，试着解出这个联立方程式吧，只剩下动手了。

首先将R与S以r与s表示。

R＝1/(r－s)，S＝－1/(r－s)

这样就快得到将F(x)以无穷函数的形式表示的方法了，为了之后能求出r。s必须继续算下去。

F(x)＝x/(1－x－x<平方>)

＝x/(1－rx)(1－sx)

＝R/(1－rx)+S/(1－sx)

在这里带入R＝1/(r－s)，S＝－1/(r－s)

＝(1/(r－s))(1/(1－rx))－(1/(r－s))(1/(1－sx))

＝(1/(r－s))(1/(1－rx)－1/(1－sx))

然后这里用＝1＋rx＋r<平方>x<平方>＋r<立方>x<立方>＋……跟＝1＋sx＋s<平方>x<平方>＋s<立方>x<立方>＋……

＝(1/(r－s))((1＋rx＋r<平方>x<平方>＋r<立方>x<立方>＋……)－(1/(r－s))(1＋sx＋s<平方>x<平方>＋s<立方>x<立方>＋……))

＝(1/(r－s))((r－s)x＋(r<平方>－s<平方>)x<平方>＋(r<立方>－s<立方>)x<平方>＋……)

＝((r－s)/(r－s))x+((r<平方>－s<平方>)/(r－s))x<平方>＋((r<立方>－s<立方>)/(r－s))x<立方>＋……

整理之后就变成这样。

F(x)＝0＋((r－s)/(r－s))x+((r<平方>－s<平方>)/(r－s))x<平方>＋((r<立方>－s<立方>)/(r－s))x<立方>＋……

F0F1F2F3

这样就能将斐波那契数列的一般项以r，s表示。

F<n>＝(r<n次方>－s<n次方>)/(r－s)

之后就剩求出r，s了，r与s的联立方程式如下：

r＋s＝1

rs＝－1

要以一般解联立方程式的方式来解也可以，但是和为1且积为－1的两个数r，s，会等于方程x2－(r＋s)＋rs＝0的解，也就是所谓的「二次方程式的解与系数的关系」，理由则是由于下面的因式分解：

x<平方>－(r＋s)＋rs＝(x－r)(x－s)

也就是说，从r＋s＝1，rs＝－1，可以得到x＝r，s为以下方程序的解。

x<平方>－(r＋s)x＋rs＝x<平方>－x－1

＝0

利用二次方程式解的公式，可以得到以下结果。

x＝(1±<根号5>)/2

假定r＞s，则……

r＝(1＋<根号5>)/2

s＝(1－<根号5>)/2

而r－s＝<根号5>，所以……

(r<n次方>－s<n次方>)/(r－s)=(1/<根号5>)(((1＋<根号5>)/2)<n次方>-((1－<根号5>)/2)<n次方>)

可以得到斐波那契数列一般项F<n>如下。

F<n>＝(1/<根号5>)(((1＋<根号5>)/2)<n次方>-((1－<根号5>)/2)<n次方>)

好，这样就解决了。

※※解答4－1(斐波那契数列的一般项)

F<n>＝(1/<根号5>)(((1＋<根号5>)/2)<n次方>-((1－<根号5>)/2)<n次方>)

4．3回顾

……我还是无法接受，真的是这个答案吗？毕竟斐波那契数列全部都是整数，我不认为一般项会出现<根号5>。

脸上浮现满足表情的米尔迦一口气将已经变凉的咖啡喝完，对于我的疑问则是回答：「要试试看吗？」

那么，就以n＝0，1，2，3，4为例来验算。

F<0>＝(1/<根号5>)(((1＋<根号5>)/2)<0次方>-((1－<根号5>)/2)<0次方>)＝0/<根号5>＝0

F<1>＝(1/<根号5>)(((1＋<根号5>)/2)<1次方>-((1－<根号5>)/2)<1次方>)＝<根号5>/<根号5>＝1

F<2>＝(1/<根号5>)(((1＋<根号5>)/2)<平方>-((1－<根号5>)/2)<平方>)＝4<根号5>/4<根号5>＝1

F<3>＝(1/<根号5>)(((1＋<根号5>)/2)<立方>-((1－<根号5>)/2)<立方>)＝16<根号5>/8<根号5>＝2

F<4>＝(1/<根号5>)(((1＋<根号5>)/2)<4次方>-((1－<根号5>)/2)<4次方>)＝48<根号5>/16<根号5>＝3

0，1，1，2，3，确实是斐波那契数列。喔～～原来如此，实际计算的时候，分子跟分母会同时将<根号5>消掉啊！！

嗯，真厉害，我一边喝着咖啡，一边回顾今天的整个流程，想我们求出斐波那契数列的一般项(也就是对n的闭公式)，为此依着以下的顺序前进。

(1)思考与斐波那契数列的Fn的系数有关的生成函数F(x)。

(2)求函数F(x)的闭公式(在这里为对x的闭公式)，这里使用了斐波那契数列的递推公式。

(3)将函数F(x)的闭公式以无穷级数的形式表示，这时候的系数xn为斐波那契数列的一般项。

也就是说，使用与数列系数相同的函数——生成函数一一来『抓到数列』了，原来如此……不过，还真是漫长的旅途啊。

※※『求斐波那契数列的一般项』旅行地图

斐波那契数列→生成函数F(x)

↓

斐波那契数列一般项←生成函数F(x)的闭公式

接着米尔迦开始说：「生成函数是操作数列的有效方法。原因在于，我们熟知的函数解析方法都能在生成函数的国度里发挥效用，而在函数中培养的技术也能活用在数列的研究中。」

我边听着米尔迦说话，边担心别的事情。在计算无穷级数的时候，变更和的顺序不是不太好吗？米尔迦……这真的没问题吗？

「不清楚说明条件的话确实不好，不过这次就不要计较了，把使用生成函数发现的东西当成秘密，改用数学归纳法证明得出的一般项不就可以了。」

米尔迦爽快地回答。

……在展开长长的算式时，

使用生成函数这个重要的手段，

是为了要表示最初找出这个等式的方法，

——高德纳『TheArtofComputerProgramming』[22]

第5章算术平均数与几何平均数的关系

一切创造的喜悦，

都在可能立即消失的边缘在线上徘徊。

——霍夫斯塔特『メタマジック×ゲーム』[5]

5．1在『学仓』

隔天。

放学后，我急忙走在校园的树荫道中，一边快步前进一边从口袋中拿出纸条。我再度读了一次纸条，上面只写了一行字。

今天放学后，我在『学仓』等你。蒂德菈

穿过树荫道，进入别馆的大厅——又称为『学仓』——的同时，蒂蒂已经在入口等我了。

蒂蒂一看到我就急忙低下头。

「昨天真是非常抱歉，那个……」

「不，该道歉的是我才对。总之先进去里面吧，这里太冷了。」

『学仓』是个舒适的空间，除了有福利社外，各处也放置着桌椅，可以轻松愉快地聊天，今天人还不是很多，别馆楼上是艺术系社团的活动室，可以听见有人在里面练习长笛。

我在自动贩卖机买了一罐咖啡，并找了个适当的位置坐下，蒂蒂则坐在我的对面。

蒂蒂是高中一年级，和我同个国中出身的学妹，虽然是这么说，不过我国中时并不认识她。

「我……昨天吓了一大跳，所以什么都没说就直接回去了，真是非常抱歉。」蒂蒂深深地低下头。

「不，我才应该道歉。这个……有很多原因……」

蒂蒂很紧张地看着我，我则是以微笑响应。蒂蒂的眼睛又大又圆，可是身材却非常娇小，给人的感觉像是在玩弄核桃的松鼠，蓬松的尾巴似乎十分适合她。

「那、那个，学长。学、学长是不是和那位学姊在交、交往？」

「交交往？」

「不，和她……正在交往吗？」

「啊，米尔迦啊，没有，我们并不是在交往。」

米尔迦。

我的心中浮现出她的模样，也更加确认了答案，嗯，我们并没在交往。

「不过，确实是因为我厚脸皮地坐在学长旁边，才会……发生那种事。」蒂蒂边注意我的脸色边说。「然后那个……假如，不会造成学长麻烦的话……之后还可以请你继续教我数学吗？」

「嗯，可以啊。假如还有想问的问题，随时都可以来问我，就像之前一样……你给我这封信就是为了这件事吗？希望我之后能够继续教你？」

我看着纸条，蒂蒂点点头。

「特地叫你出来真是对不起，虽然可以直接到图书室去，不过我怕又像昨天那样」……

像昨天一样再被米尔迦踢一次的话，确实会受不了吧。

「但是……那个……假如再让学长教我的话，那位学姊还会……用脚碰我的椅子吗？」

听到蒂蒂奇怪的用语后，我不禁露出苦笑。

「米尔迦啊，不晓得……或许会用脚碰椅子吧，该怎么说她呢……嗯，米尔迦那边就由我来跟她说明好了。」

蒂蒂听到我的话，终于露出了微笑。

5．2浮出的疑问

「我从很久以前就有个疑问，不过一直没有提出来——就是昨天学长有提到(a＋b)(a－b)＝a<平方>－b<平方>这个公式。我看了参考书，发现书上是写成(x＋y)(x－y)＝x<平方>－y<平方>。」

「嗯，是同样的公式，什么地方有问题？」

「是啊，我在想使用a和b与使用x和y，哪边比较好呢？」

「原来如此。」

「而且，每当看到数学式子时，都会产生『为什么会这样写呢？』的疑问，之后就很难继续算下去了。想要问老师却又不知道到底是不是该问……之后就越来越讨厌数学了。」

「越来越讨厌？」

「我不管做什么事都要比别人多花上一倍的时间，还会不断地提出疑问，不过得到的答案却都是一些难懂的东西，所以就会渐渐地开始厌烦……」

「原来如此。」

「我想我大概不适合学数学吧，就算问数学很好的朋友，也不能理解我到底在烦恼什么，常常被说『这些不用管』，正想说不用管时，又被说『这个要好好注意啊』，到底哪里是该注意的地方，我已经完全搞个清楚了。」

「不，经常抱持疑问反而才适合学数学。」我说。

「假如是英语的话……」蒂蒂继续说着。「单字不懂可以查字典，难懂的惯用句可以死记，文法虽然麻烦，但是和例句一起记就好了，只要有读，多少都能慢慢进步。」

这会不会太单纯了一点？我虽然想这么说，然而为了不打断她的话，我点点头。

「不过，数学就不是这样了，懂的时候很清楚，但是不懂的时候就完全没办法，没有所谓的折衷。」

「嗯～～也是有算到中途都很顺利，结果计算错误的状况。」我回答。

「学长，我想说的并不是这个……啊，对不起。从刚刚开始都是我一直在吐苦水。不能吐苦水、不能吐苦水，我不是想吐苦水……我现在最想做的是多多用功！想好好用功！……这才是我想表达的。」

蒂蒂一边说「很想用功」，一边将拳头握紧。

「我很庆幸能进来这间高中，将来也希望从事计算机相关的工作，但是我想不管朝哪个方向前进，数学都是必要的。所以才会想要努力用功。」

蒂蒂一个人用力地点点头。

「学长通常是怎么用功的呢？」

「有时候是解问题，有时候只是单纯地写写算式而已，譬如说……这样好了，今天我们就一起用功吧。」

「好、好的。」

5．3不等式

蒂蒂说了一声「失礼了」后，就移动到我旁边的座位，跟我一起看着笔记本。从她的身上微微传来甜甜的香味，啊，是和米尔迦不一样的香味……这是理所当然的。

「那就开始吧，就先以r当实数，讨论r的二次方r<平方>，你对这个了解多少呢？先想想看。」

对于我的提问，蒂蒂想了几秒。

「因为r<平方>是平方，所以会大于0……对吧？」

「是的，然而不是『大于0』而是『大于等于0』才对』，『大于0』的话就不包含0了。」

「啊，真的耶，假如r是零的话，r<平方>也会是零。好的，『r<平方>大于等于0』。」

蒂蒂像是理解似地点点头。

「也就是说，无论r是任何实数，下面的不等式都会成立，对吧？」

r<平方>≥0

「咦？啊，是啊。r是实数的话，r<平方>就大于等于0了。」

「实数r可能是正数、零或是负数，无论是哪种情况，在平方之后都会大于等于0，所以r<平方>≥0成立，这是提到『r为实数』时要特别注意的重要性质，等号成立时就是r＝0的状况。」

「请问……这好像是理所当然的吧。」

「是的，理所当然。『从理所当然的地方开始是好的第一步』。」

「啊，好的。」

「不等式r<平方>≥0对任何实数r皆成立。像这样，无论任何实数皆成立的不等式称为绝对不等式。」

「绝对不等式」……

「从『无论任何数』这种观点来看的话，绝对不等式与恒等式很相似，只是区别在绝对不等式是不等式，恒等式是等式。」

「原来如此。」

「那再继续往前吧。将a与b设为实数，这时候下式成立，能够理解吧？」

(a－b)<平方>≥0

「嗯……没错，a－b为实数。因为是实数，所以平方会是0以上……啊，请等一下，刚才在r<平方>≥0的时候有用过r这个字母，为什么这次就是用a和b呢？我每次都不懂为什么要这样做，而在当我在想的时候，老师就继续说下去了。」

「啊，没关系，刚才用的r是实数(rea1number)的第一个字母，不过也可以像『设x为实数』一样使用x，或是『设w为实数』一样使用w。通常来说，定数的时候会使用a，b，c，变量的时候就会用x，y，z，不过在这里的话都可以，虽然如此，当写作『设n为实数』时还是会吓一跳。毕竟n通常都用在表示整数或自然数……嗯，到这里为止跟得上吗？」

「可以，非常清楚。不好意思打断学长的话，我每次都会很在意使用的文字……不过(a－b)<平方>≥0这边我已经懂了。」

蒂蒂露出了笑容，闪耀的眼神像是在说「接下来呢？」，真是个表情丰富的女孩啊，而且一定要完全理解才会继续下去的这一点也很不错。

「那么，接下来要往哪里前进才好？」

我提出了引导用的疑问，而蒂蒂则用大大的眼睛回答：

「哪里是……哪里啊？」

「什么都可以。理解……

(a－b)<平方>≥0

之后，你接下来想要了解什么算式，任何东西都可以，试着说说看吧，还是你要写写看？」

我将自动铅笔交给蒂蒂。

「好的……那我就试着展开看看好了。」

(a－b)<平方>＝(a－b)(a－b)

＝(a－b)a－(a－b)b

＝aa－ba－ab－bb

＝a<平方>－2ab＋b<平方>

「这样可以吗？」

「嗯，可以啊，那现在想想看关于这两个式子。」

(a－b)<平方>≥0，(a－b)2＝a<平方>－2ab＋b<平方>

「因为(a－b)2为0以上所以展开的结果也会是0以上吧，蒂蒂。」

看着算式的蒂蒂突然抬起头，眨了眨眼睛之后对我笑着，她似乎很高兴。

「是的，没错……不过之后要怎么做呢？」

「嗯，现在开始试着表达式子，例如将－2ab移项到右边看看，移项之后－2ab就变成2ab了。」

a<平方>＋b<平方>≥2ab

「是，这个我懂。」

「再来两边同除以2，然后就会像这样。」

(a<平方>＋b<平方>)/2≥ab

「嗯。」

「这个式子是什么呢？」

「是什么呢？」

「看看左边，会发现(a<平方>＋b<平方>)/2就是a<平方>跟b<平方>的平均。」

「啊……原来如此。这是将a<平方>和b<平方>相加，再除以2。」

「嗯，式子的左边写着a<平方>跟b<平方>，在这里我要将右边的ab也一样用a<平方>跟b<平方>表示。」

「啊、啊」……

「不，没有为什么一定要这样做的规则，只是有时候我会想这样做而已。」

「啊，好的。」

「下一步会稍微跳得有点快，要注意喔。为了将ab以a2跟b2表示，就要变形成下面的算式，你认为这个等式会必然成立吗？」

ab＝<根号a<平方>b<平方>>(？)

「这个……平方之后就可以拿掉根号，拿掉根号之后，会回复原来的样子』对，我想应该是必然成立。」

「不，不对，平方去掉根号之后会回复原状的只有0以上的数，ab有可能是负数，所以若是没有设立条件的话这个等式不会成立。」

「唉呀，疏忽条件了。」

「是啊，假设以a＝2和b＝－2来想就知道了。左边是ab＝2×(－2)＝－4，右边却是<根号a<平方>b<平方>>＝<根号2<平方>(-2)<平方>>＝<根号16>＝4。」

「真的是这样」……蒂蒂一边确认我写的计算式，一边点头。

「那这次就加上条件，加上ab≥0这个条件的话，下面的等式就会成立了。」

ab＝<根号a<平方>b<平方>>但是ab≥0

「然后将刚才的不等式，(a<平方>＋b<平方>)/2≥ab写成……」

(a<平方>＋b<平方>)/2≥<根号a<平方>b<平方>>但是ab≥0

「好的」……虽然蒂蒂这样回答，不过她仍旧专心地思考。

「……等一下，学长，这里怪怪的。这ab≥0的条件是必要的吗？我还是不懂，当ab＜0的时候，这个等式不是也会成立吗？就像下面这个例子，当a＝2而b＝－2时，左右两边会分别如下。」

左边＝(a<平方>＋b<平方>)/2

＝(2<平方>＋(-2)<平方>)/2

＝4

右边＝<根号a<平方>b<平方>>

＝<根号2<平方>(-2)<平方>>

＝<根号16>

＝4

「所以左边≥右边会成立喔，学长。」

「真亏你能发现呢，蒂蒂，确实不附上ab≥0这个条件好像也可以，不过要怎么取消这个条件呢？」

蒂蒂想了一下，最后摇摇头。

「……不知道。」

「要取消ab≥0这个条件，就必须证明即使ab＜0，这个不等式也会成立。」

「ab＜0的时候，a与b其中一边是正的，另一边是负的，那先假定。a＞0与b＜0好了，现在以满足c＝－b的数c思考，因为b＜0，所以c＞0，由于(a<平方>＋b<平方>)/2≥ab对任何实数均成立，所以对a和c也成立，所以下式成立。」

(a<平方>＋c<平方>)/2≥ac

「然后将左右分开来看。」

左边＝(a<平方>＋c<平方>)/2

＝(a<平方>＋(-b)<平方>)/2因为c＝－b

＝(a<平方>＋b<平方>)/2

右边＝ac

＝<根号a<平方>c<平方>>因为ac＞0

＝<根号a<平方>(-b)<平方>>因为c＝－b

＝a<平方>b<平方>

「所以下面的式子成立。」

(a<平方>＋b<平方>)/2≥a<平方>b<平方>但a＞0且b＜0

「到这里的讨论是假设『a为正真b为负』，反过来说『a为负，b为正』也一样。根据以上证明，对任意实数a与b，下面的不等式成立。」

(a<平方>＋b<平方>)/2≥a<平方>b<平方>但a跟b为任意实数

蒂蒂看着写在笔记本上的算式陷入沉思，虽然花了一段时间，不；她终于抬起头。

「原来如此，我懂了……啊，还有一点，所谓『任意』是什么意思？」

「所谓『任意』就是『任何其中一个』或是『无论是哪一个』的意思，相当于英文的any，也有用『对所有的……』来表示的方法，英文的话就是「forall」。」

「啊，我知道了，『任意实数』就是指『无论哪一个实数』的意思吧。」

我继续说下去。

「那这里将两边的式子用a<平方>跟b2表示，并将a<平方>跟b<平方>以别的名字表现，把a<平方>设为x，b<平方>设为y，定义式如下。

x＝a<平方>，y＝b<平方>

「由于x和y都是平方数，所以都是0以上。也就是说x≥0且y≥0，所以刚才的不等式就可以如下列式子表示，应该很清楚了，有看过这个式子吧？」

(x+y)/2≥<根号xy>但是x≥0且y≥0

「……我知道，嗯……这是算术平均数与几何平均数的关系！」

「嗯，就是这样，不等式的左边是『两数相加除以2』的算术平均数(x+y)/2，右边是『两数相乘开根号』的几何平均数<根号xy>，所谓算术平均数与几何平均数的关系就是指算术平均数一定不小于几何平均数。」

「是的，居然从r<平方>≥0开始，一直推演到公式出来了。」蒂蒂感慨地说出感想。

「说成『公式』就很容易让人有必须死记的印象，容易产生不易亲近的感觉。但是假如常常做算式变化的练习，这种想法就会渐渐淡化。就像在捏黏土，当你越捏，它就越柔软。」

「喔～～原来公式是自己做出来的。」

「与其说是自己做出来的，还不如说是从算式里导出的，其实在数学课本与回家作业里，也有这种推演算式的题目，以后试着多注意看看，这种推演的问题会出现在课本的例题或是练习题中。」

「这样啊……往后我会注意的，原本提到公式就会有『必须赶快记起来』的感觉呢。」

「算式的推导如果一开始就用死记的方法，反而很难记起来，要自己动手计算，然后理解，这是很重要的，没有理解就死记的话，通常是没有用的。」

「原来如此」……

「话说回来，你知道在算术平均数与几何平均数的关系中，什么时候等号会成立吗？也就是说以下式子成立的时候，x与y是什么样的关系呢？」

(x+y)/2＝<根号xy>

「咦？『x和y都是0的时候』吗？」

「不对……应该说不完全正确。」

「咦？可是当x＝0，y＝0的话，左边和右边都会变成0啊。」

「你的想法是对的，但是不一定要x和y都等于0不可，只要x＝y就好了。」

「咦？是这样吗？那用x＝3，y＝3来确认看看好了。左边是(x+y)/2＝(3+3)/2＝3，右边是<根号xy>＝<根号3×3>……啊，真的耶。」

「嗯，像这样用实例检验是很重要的，『举例是理解的试金石』。」

「那我再用其它的例子试试看，当x＝－2，y＝－2的时候呢？左边是(x+y)/2＝((-2)+(-2))/2＝-2，右边是<根号xy>＝<根号(-2)×(-2)>＝2……咦？错了？」

「蒂蒂，你忘了x≥0且y≥0的条件喔。」

「唉呀，没错没错，我完全漏掉这个条件，一直想东想西地就忘记它了。」

蒂蒂伸出舌头，用手敲了敲自己的头。

「蒂蒂，只要注意到这次是从(a－b)<平方>≥0这个不等式开始，就能知道等号成立的时候是a＝b(也就是x＝y)的时候。」

※※算术平均数与几何平均数的关系

(x+y)/2≥<根号xy>

当且仅当x≥0，y≥0，x＝y的时候等号成立。

5．4更进一步

「现在将算式捏成另外的样子，虽然一直重复会有点烦人，不过要证明算术平均数与几何平均数的关系，其实只要将(<根号x>－<根号y>)<平方>≥0的左边展开就可以了，但是记得x≥0且y≥0。」

(<根号x>－<根号y>)<平方>＝<根号x><平方>－2<根号x><根号y>＋<根号y><平方>

＝x－2<根号x><根号y>＋y

＝x－2<根号xy>＋y因为x≥0，y≥0

≥0因为(<根号x>－<根号y>)<平方>≥0

「也就是会变成这样。」

x－2<根号xy>＋y≥0

「然后将2<根号xy>移项，两边同除以2，就会出现下面的式子。」

(x+y)/2≥<根号xy>但是x≥0且y≥0

「咦？可是这次x≥0，y≥0的条件从哪里来的？」

「因为现在只考虑实数，<根号>之中x和y都必须是0以上。」

「假如<根号>之中比0小呢？」

「比0小的话，就变成虚数了。」

「原来如此……」

「那，稍微再演练一下算术平均数与几何平均数的关系吧，刚才写的没有表现出『算术平均数』和『几何平均数』的语言节奏。」

「语言……节奏？」

「对，现在要将和与积，还有平方根的符号变形。和用x＋y，积就用x×y，明白地写出×号，除以2用乘表示，平方根则以次方表现。这样的话，下式就会成立，这也是算术平均数与几何平均数的关系喔，这种写法可以明白地看出两边的相似性。」。

(x＋y)×(1/2)≥(x×y)<(1/2)次方>(x≥0，y≥0)

蒂蒂立刻举手。

「学长……我还有问题，平方根是<根号>吧？『(1/2)次方』是什么呢？」

「所谓『取平方根』就是指『(1/2)次方』的意思，虽然说次方可能会让人吓一跳，不过这是定义……一开始从指数的法则思考的话就很合理。」

「(1/2)次方很合理？」

「我简单说明一下关于x≥0，x的平方根等于x<(1/2)次方>的事吧，首先思考一下什么是(x<立方>)<平方>。」：

「(x<立方>)<平方>吗？因为是(x×x×x)<平方>……所以总共是6次方，我想应该是(x<立方>)<平方>＝x<6次方>。」

「没错，普通演算会像下式一样，次方的次方会以指数的乘法来计算。」

(x<a次方>)<b次方>＝x<ab次方>

「这边我了解。」

「那依照上面的原理来看看下面这个式子，这里a要填什么数比较好呢？」

(x<a次方>)<平方>＝x<1次方>

「因为是指数的乘法，所以a的两倍会是1，所以就是a＝(1/2)。」

「嗯，这是最自然的想法，所以说，仔细看(x<a次方>)<平方>＝x<1次方>，因为x<1次方>等于x，所以这个算式告诉我们『x<a次方>的平方会是x』，使得x<a次方>会是……」

「平方的话会让x成为0以上的数吧……啊，那就是<根号x>啊！！哇……好厉害！」

「很厉害吧，这样一来，(1/2)次方就是平方根很合理吧？」

※※平方根就是(1/2)次方。

x<(1/2)次方>＝<根号x>(x≥0)

「虽然很不可思议，不过确实感觉很合理。」

「啊，对了，不晓得能不能将算术平均数与几何平均数的关系广义化，证明下面这个式子说不定很有趣。」

(x<1>＋x<2>＋……＋x<n>)×(1/n)≥(x<1>×x<2>×……×x<n>)<(1/n)次方>(x<k>≥0)

「这个式子使用Σ跟∏就会变成下面这样，左边是和，右边是积，而算术平均数与几何乎均数的关系就是和与积之间的不等式。」

Σ<k=1到n,x<k>>×(1/n)≥∏<k=1到n,x<k>><(1/n)次方>

「学长、学长～～虽然好像很有趣，不过我好像被你遗忘了啦。」

5．5所谓读数学

稍微休息了一下，蒂蒂再度回到我对面的座位，继续谈论关于读数学的话题。

「读数学时最让人觉得厌烦的就是不晓得目标在哪里，就算解开问题也不晓得乐趣在哪里，在家自己读数学很无聊，也不晓得到底将来会在哪里用到……不过问题也不是『到底学数学对将来有什么帮助』这种常常听到的话，只是想知道刚刚学到的算式变形到底和昨天学过、明天将要学到的东西又有什么关系，我希望能看到地图的全貌，但是老师却没有让我看见。」

「……」

「就好像是拿着小型手电筒到一个全黑房间的感觉，虽然可以用手电筒照明前进，但是光能照到的范围却很狭窄，无法知道自己到底走到哪里。前后都是一片漆黑，能看到的只有光照到的一小部分而已，假如真的很困难的话，那也没有办法，可是实际上算式的变化并没有那么难，所以我已经搞不清楚数学到底算是简单还是困难了，单独来看似乎很简单，可是却无法掌握整体，就像没有地图时的困惑与不安。」

「原来如此。」

我能理解蒂蒂的不安，也就是『不晓得接下来会发生什么事』啊。

「学长能够很认真地听我说话，但是我同学就不行了，我虽然也有数学很好的朋友，但是就没办法像现在这样顺利地谈话，每次都会被欺负。当她说『你不要问这些，只要记起来就好了』的时候，我就不想和那些家伙……不，那些人说下去了。」

我就像被蒂蒂的话吸引一样开口：

「我喜欢数学，我会在图书室里不断地看着算式，也会将上课中出现的式子重新组合，让自己能理解与接受，然后一步一步地继续下去，在学习的时候，我会特别注意自己能不能将这些过程重现。」

蒂蒂安静地听我说话。

「学校只能提供学习的素材，老师也只关心考试的事情，不过这些并不重要，我只是想要不断地思考自己有兴趣的事物，这并不是被父母强迫的，无论我推演了什么算式。父母都不会关心，他们只会注意到我是不是坐在书桌前，所以我能做我喜欢的事，不过原本他们就不太会特别叫我念书。」

「那是因为学长的成绩好啊，像我就不行，常常被命令『快去读书』，真是烦死了。」

「我常在图书室里想事情，会打开笔记本回忆算式，想着这式子为什么非得要这样定义不可，或者尝试改变定义会发生什么事，真正重要的地方必须自己思考，就算抱怨老师或同学也都没有意义。像蒂蒂刚刚所说，当看到算式的时候会想『为什么要这样写呢？』这样想绝对不是坏事，或许这会很花时间，但是不轻易对自己抱持的疑问妥协，努力思考出答案是很重要的，我觉得这样才算是念书，不管是父母、朋友，甚至是老师都没有办法回答蒂蒂自己的疑惑，至少无法完全地回答，他们有时候甚至还会生气，当人遇到自己无法回答的问题时，会展现愤怒，并憎恨提出问题的人，然后回头去嘲笑他们。」

（无名之声：无知被揭露后往往就会带来烦躁，进而化为迁怒。学数学，不怕无知，只怕无知导致的躁动，遇到无知沉下气来埋头去用已知攻克无知才是学数学的态度。因为我是数学专业的，有点多口说说自己对学数学的看法，说错了还请一笑置之，因此影响了读者的阅读速度真是很抱歉。）

「学长好厉害……昨天在图书室教我的时候也能让我觉得有趣，虽然只是简单的算式变形，却让我有种雀跃的感觉，今天的话我也会当成参考的……请问……学长这些话有跟那位学姊说过吗？」

「那位学姊？」

「……就是米尔迦学姊。」

「啊，嗯，该怎么说，应该说我们聊天的内容更加具体吧，我在图书室计算的时候，有时候米尔迦会凑过来讨论，话题就是正在计算的内容，不过大部分都是她在说话，米尔迦很聪明，我赢不了她，她了解的比我更深更广。」

「我曾经以为学长和那位学姊……在交往，因为你们总是在一起。」

「因为是同班啊。」

「在图书室也总是……」

「……」

「……那个，学长是全年级第一名吧。」

「不是，数学方面是米尔迦第一，而且还有都宫在，整体来说的话都宫是第一。」

「为什么大家都那么厉害呢？」

「因为大家都是喜欢才去学习的，除了都宫体育也好外，我和米尔迦都不擅长运动。先不管米尔迦，我很不擅长在大众面前说话。但是我喜欢数学，因为喜欢所以才会去做，就是这样，蒂蒂有喜欢的东西吗？」

「我喜欢英语……非常喜欢。」

「现在你的书包里有放英语的书吧，而且到书店去的时候，会先往英文的书柜走，对吧？」。

「没错，学长，就是这样……学长还真清楚。」

「因为我也一样，我的话就会先往数理方面的书柜走，无论是到哪间书店都一样。假如是常去的书店，我连摆放的位置都会记起来，只要看一下书架就知道哪些是新书。就只是如此，我只是做我自己喜欢的事情，只是花时间在自己喜欢的事情上，为喜欢的事情抽出时间，我想任何人都一样，希望更深入、更持续思考自己喜欢的事，所谓的喜欢就是这一回事吧。」我仿佛心中某处的开关被打开一样，将一切的感情化为言语表现出来。

「学校里的世界不但窄小而且狭隘，也有很多欺骗小孩的假象，虽然学校之外也有很多假象。但是也有碰到会受伤的真品。」

「学校里都没有真品吗？」

「并不是这个意思，例如说某个老师，你知道村木老师吧？虽然他被说成是个奇怪的人，但是他懂的很多，这点无论是我，都宫或是米尔迦都这认为，我们有时候会被村木老师提出问题，有时他也会介绍有趣的书给我们。」

蒂蒂歪头思考，我则继续说下去，我的话匣子一打开就停不下夹。

「当你认真追求喜欢的事物时，就会得到分辨真伪的能力。总有一些喜欢大声嚷嚷，或是故作聪明的学生存在，那些人想必习惯表现自我、非常重视自尊，倘若养成用自己的头脑思考的习惯，会去了解事物的本质，就不需要那强调自我了，即使大声嚷嚷也不会懂递推公式，故作聪明也解不开方程式。无论别人怎么认为、无论被别人说什么，都要思考到自己能接受为止，这是我认为相当重要的事。追求喜欢的事物、追求事物的本质，我认为……」

我停了下来，我说得太多了，因为表现自己而大声嚷嚷的我真是愚蠢，到此为止吧。

蒂蒂慢慢地点了头，她仍然在思考，不知何时，楼上长笛的长音练习已经结束，换成了颤音练习，周遭的人也渐渐变多了，『学仓』开始变得热闹。

「学长……像这样……在你做想做的事时……有个没用的学妹……会打搅到你吗？」蒂蒂用仿佛快要消失的声音说着。

「咦？」

「有个没用的学妹在旁边，会打扰到你吗？」

「不，完全不会打扰、也不会麻烦。能让我说出自己想的事，而且能与人分享，像这样有个不错的谈话对象我非常高兴，我并不会特别想要一个人独处。」

「总觉得好羡慕学长，我虽然也想努力学好数学，但是等级完全不一样。」

蒂蒂轻咬着食指的指甲。

沉默。

过了一会儿，蒂蒂突然抬起头。

「不！不能这样！无论别人怎么样，只要追求自己认为对的就好了吧！学长，我又有精神了！那个……我希望能拜托你，往后……即使只是偶尔也好，请让我继续和学长讨论数学。拜托你！」

蒂蒂用严肃的表情恳求。

「嗯，可以啊。」

没什么关系，大概吧，而且今天好像被蒂蒂『拜托』好几次，也回答『可以』好几次了，一定没问题的，思考中的我看了看大厅的时钟。

「学长今天也要去图书室吗？」

「嗯，是啊。」

「那我也……啊，那个……还是算了，今天我先回去了。假如之后有问题可以再问吗？在图书室或是……在教室的时候。」

「可以啊，当然。」

我又回答了一次。

这时候，有三个女孩从蒂蒂的背后走过，并对她喊了一声。嗨，蒂德菈。」

「嗨！」蒂蒂也转向她们大声地回答。

然后……

蒂蒂用两手按住嘴巴转了回来，并摆出一副「糟了」的表情，她似乎是因为在我面前表现出平常的一面而感到不好意思，整张脸红到耳根。

在这高中二年级的秋天里，这样的蒂蒂让我觉得非常地可爱。

(无名之声：最近跟看到月巴大在博客上的话，又看到了上面书中的对话，又有点感慨想说说。这只是个人看法，仅拿来吹一下，不该也不敢强求大家赞同，呵呵，因为每个人心中都有自己的秤，并且俩俩不全等，任何人的观点没权力也没必要一定让别人完全赞同，当然，这句话也是我想给网上所有爱战之人提出的一个参考观点。我还想提出的是，上面的一大段书中对话希望各位书友品尝一下，无论是天朝还是日系，无论是原创还是模仿，无论是名著还是科普，喜欢就是喜欢，大家都为了各自喜欢的事去努力。这也就像某笔记说的一样，伸张属于自己的正义而已，只不过那些不科学或者不合主流的正义，就不要随便伸张出自己的范围外了，呵呵。最后想说说我自己，我本人很喜欢轻小说，所以我很敬重和支持那些为轻小说而奋斗的人；也希望泉川、轻国以及所有致力于轻小说的论坛能够顺利地走下去，更好地继续壮大。啊啦～又影响阅读速度了～抱歉)

（JoyJ：听了名名的话，咱这个总挖大坑的人情何以堪==）

第6章在米尔迦的身旁

解析是研究连续，

数论走研究离散，

而尤拉结合两者。

——邓汉[14]

6．1微分

我一如往常地在没有人的图书室里推演算式。

米尔迦进来后，毫不犹豫地在我旁边坐了下来，她的身上散发出淡淡的橘子香，她在看了我的笔记本后说：

「微分？」

「是啊。」我回答。

米尔迦用手撑着脸在旁边看我计算，她没有说任何话，一直被人看着……我很难继续下去。

「怎么了？」米尔迦说。

「没有……我在想你在看什么。」我回答。

「你的计算。」她简短地回答。

这样说是没错……

就是因为米尔迦不只是看才麻烦，她的距离感与其它人不同，会从旁边的座位突然贴近到脸庞附近，假如我用手挡住算式，她就更要一探究竟。

啊，对了，我想起与蒂蒂的约定了。

『米尔迦那边就由我来跟她说明好了。』

「对了，米尔迦，关于之前那件事……」

「等一下。」米尔迦说完话后把脸朝上并闭上眼睛，形状完美的双唇轻轻开合，似乎是开始思考有趣的事情，这样我就不能打扰她了。

过了七秒，她张开眼，并一边对我说「微分，简单地说就是变化量吧」，一边在我的笔记本上书写。

◎◎◎

「微分，简单地说就是变化量吧。」

假设以直线上现在的位置为x，设稍微有点距离的地方为x＋h，h不用太大，也就是『最近距离』。

[插图：画一条横向直线，任取一点x，在其右任取一点x＋h]

然后来思考f这个函数的变化吧，对应x的函数f为f(x)，然后对应x＋h的函数f的值为f(x＋h)，接下来注意『当距离为h时，函数f会如何变化』。

为了使对比更加醒目，将0也清楚标明，当现在位置为x＋0时，f的值就是f(x＋0)，当前进到x＋h时，f的值就变成f(x＋h)。

从x＋0前进到x＋h的变化量可以用……

『前进后的位置』－『前进前的位置』

求出来，也就是(x＋h)－(x＋0)等于h，同样地，从x＋0前进到x＋h时的变化量可以用f(x＋h)－f(x＋0)求出。

[插图：在只有正半轴的平面直角坐标系上画一条类似于f(x)=2<x次方>的函数图像的曲线，在图像上任取一点(x＋0,f(x＋0))，在其右侧任取一点(x＋h,f(x＋h)，则两点之间的横向距离为(x＋h)－(x＋0),纵向距离为f(x＋h)－f(x＋0)]

在这里要调查对x的函数f，也就是调查瞬间的变化，假如x的变化量(x＋h)－(x＋0)变大的话，或许f的变化量也会变大，所以将两者相除得出比例，这个比例相当于上图斜的虚线斜率。

(f的变化量)/(x的变化量)＝(f(x＋h)－f(x＋0))/((x＋h)－(x＋0))

由于想要知道位置x的变化，所以h必须尽可能地小，让h不断地缩小，考虑h→0的极限。

lim<h→0,(f(x＋h)－f(x＋0))/((x＋h)－(x＋0))>

简单地说，这就是函数f的微分，以图形来看，就是与下图的点(x，f(x))的切线斜率，越接近斜率大的右上方，f(x)就增加得越快，也就是说，在那个地点变化量很大。

[插图：在只有正半轴的平面直角坐标系上画一条类似于f(x)=2<x次方>的函数图像的曲线，在图像上任取一点(x＋0,f(x＋0))，过该点作切线]

对函数f的『微分』写作Df，换句话说，微分算子D定义如下。

※※微分算子D的定义

Df(x)＝lim<x→0,(f(x＋h)－f(x＋0))/((x＋h)－(x＋0))>

也可以定义成下面的式子，毕竟是同样的东西，无论如何，微分算子D就是从函数中再做出函数的高阶函数。

Df(x)＝lim<h→0,(f(x＋h)－f(x))/h>

到目前为止都是关于连续世界的话题，x可以自由地滑动，而现在开始要进入离散世界了，既然是离散的世界，也就是像整数一样只能取个别的值，在连续的世界里，考虑的是将x移动『最近距离』的h在f上的变化量，然后将h→0的极限定义为微分，那么，假如将微分移到离散世界又会如何呢？

问题6－1

对应连续世界的微分算子D，定义离散世界的算子。

6．2差分

……我想着米尔迦的问题，只要在离散的世界里找出相对于连续世界『最近距离』的概念就可以了吧？我环视图书室一圈，然后对坐在身旁的米尔迦说出：「将『最近距离』换成『最近间隔』思考没错吧？」这个答案，她竖起了食指回答：「没错」。

◎◎◎

「没错。」

思考离散世界的时候，x＋0的『最近距离』会变成x＋1的『最近间隔』，不要用h→0，而是用h＝1思考，『最近间隔」就是离散世界的本质，注意到这点讨论就能顺利地展开。

[插图：画2条横向直线，上面一条画为实线，下面一条画为虚线。每条直线上任取一点x，在其右任取一点x＋h，则实线上两点之间的距离为「连续世界的『最近距离』」，虚线上两点之间的距离为「离散世界的『最近间隔』」]

从x＋0到x＋1的变化量就是(x＋1)－(x＋0)，这时函数f的变化量当然就是f(x＋1)－f(x＋0)，在这里也同样取出两者的比例一不过分母原本就是1。

(f(x＋1)－f(x＋0))/((x＋1)－(x＋0))

在离散的世界里没有必要取极限，这个式子就是『离散世界的微分』，也就是差分，差分算子Δ定义如下。

解6－1(差分算子Δ的定义)

Δf(x)＝(f(x＋1)－f(x＋0))/((x＋1)－(x＋0))

也可以写成下式。

Δf(x)＝f(x＋1)－f(x)

间隔的差……确实是名副其实的Δ「差分」演算啊。

[插图：在只有正半轴的平面直角坐标系上画一条类似于f(x)=2<x次方>的函数图像的曲线，在图像上任取一点(x＋0,f(x＋0))，在其右侧任取一点(x＋1,f(x＋1)，则两点之间的横向距离为(x＋1－(x＋0),纵向距离为f(x＋1)－f(x＋0)]

将连续世界的微分与离散世界的差分并排比较，为了让对比性增强，所以写得很繁琐。

连续世界的微分←→离散世界的差分

Df(x)←→Δf(x)

lim<h→0,(f(x＋h)－f(x＋0))/((x＋h)－(x＋0))>←→(f(x＋1)－f(x＋0))/((x＋1)－(x＋0))

6．3微分与差分

……米尔迦似乎很高兴，每次听她说话都会不知不觉地被拉到别的世界去。

啊，不过还是要好好和她说清楚。

「米尔迦，上次坐在我旁边的那个女孩……」

她将注意力从笔记本中移开，转头看向我，脸上一瞬间浮现了疑惑的表情后，立刻又将视线移回算式上。

「她是我国中时的学妹，然后……」

「我知道。」

「咦？」

「你之前说过了。」

她仍然注视着笔记本。

「然后，有时候我会教她数学。」

「这我也知道。」

「……」

「不具体说明就无法传达。」

她说完话就将自动铅笔在指间旋转。

◎◎◎

6．3．1一次函数x

「不具体说明就无法传达。」不用抽象的f(x)，要用具体的函数来思考。

例如说将一次函数f(x)＝x用微分与差分互相比较。

首先是微分。

Df(x)＝Dx由f(x)＝x得到

＝lim<h→0,((x＋h)－(x＋0))/((x＋h)－(x＋0))>由微分算子D的定义得到

＝lim<h→0,1>

＝1

然后是差分。

Δf(x)＝Δx由f(x)＝x得到

＝(x＋1)－(x＋0)由微分算子D的定义得到

＝1

微分与差分同样是1，这样就能确定函数f(x)＝x的微分与差分是一样的。

6．3．2二次函数x<平方>

再来思考二次函数f(x)＝x<平方>，这次微分与差分也会一样吗？

微分。

Df(x)＝Dx<平方>由f(x)＝x得到

＝lim<h→0,((x＋h)<平方>－(x＋0)<平方>)/((x＋h)－(x＋0))>由微分算子D的定义得到

＝lim<h→0,(2xh＋h<平方>)/h>整理

＝lim<h→0,2x＋h>将h约分

＝2x

然后是差分。

Δf(x)＝Δx<平方>由f(x)＝x得到

＝(((x＋1)<平方>)－(x＋0)<平方>)/((x＋1)－(x＋0))由微分算子D的定义得到

＝(x＋1)<平方>－x<平方>整理过后

＝2x＋1

x<平方>的微分是2x，但是差分却是2x＋1，和刚才f(x)＝x不一样，这次的微分与差分并不一致，这样就太无趣了，要怎么做才能让它们互相对应呢？

问题6－2

对应于连续世界的函数x<平方>，定义离散世界的函数。

……「要怎么做？」我因为米尔迦的问题陷入沉思，要如何才能让微分与差分互相对应，但是并没有想到什么好办法，在确定我没有要回答的意思之后，米尔迦用和缓的语调缓缓地开始说明。

◎◎◎

其实原本就无法用离散世界的x<平方>来对应连续世界的x<平方>，需要用在离散世界中替代x<平方>的这个函数来思考。

f(x)＝(x－0)(x－1)

试着计算f(x)＝(x－0)(x－1)的差分。

Δf(x)＝Δ(x－0)(x－1)

＝((x＋1)－0)((x＋1)－1)－((x＋0)－0)((x＋0)－1)

＝(x＋1)×x－x×(x－1)

＝2x

你看，这样就和微分一样了。

也就是说连续世界里x<平方>对应的是离散世界的(x－0)(x－1)。

为了让x<n次方>这个乘幂的对应更清楚，就以新的x<n次递降阶乘>这个递降阶乘来思考吧，对应的状况就像这样。

乘幂递降阶乘

x<平方>＝x×xx<2次递降阶乘>＝(x－0)(x－1)

若是写得更冗长，就能更清楚地看见对应的关系。

x<平方>＝←→x<2次递降阶乘>＝(x－0)(x－1)

解答6－2(离散世界的x<平方>)

x<2次递降阶乘>＝(x－0)(x－1)

在这里使用的递降阶乘xn如下定义。

※※递降阶乘的定义(n为正整数)

x<n次递降阶乘>＝(x－0)(x－1)…((x－(n－1)))（共n个）

举例来说：

x<1次递降阶乘>＝(x－0)

x<2次递降阶乘>＝(x－0)(x－1)

x<3次递降阶乘>＝(x－0)(x－1)(x－2)

x<4次递降阶乘>＝(x－0)(x－1)(x－2)(x－3)

6．3．3三次函数x<立方>

那这次思考f(x)＝x<立方>。

首先是微分。

Df(x)＝Dx<立方>

＝lim<h→0,((x＋h)<立方>)－(x＋0)<立方>))/((x＋h)－(x＋0))>

＝lim<h→0,((x<立方>＋3x<平方>h＋3xh<平方>＋h<立方>)－x<立方>)/h>

＝lim<h→0,(3x<平方>h＋3xh<平方>＋h<立方>)/h>

＝lim<h→0,3x<平方>＋3xh＋h<平方>)>

＝3x<平方>把不包含h的项留下

在离散的世界中，对应x<立方>的是x<3次递降阶乘>＝(x－0)(x－1)(x－2)，现在来计算x<立方>的差分。

Δf(x)＝Δx<3次递降阶乘>

＝Δ(x－0)(x－1)(x－2)

＝((x＋1)－0)((x＋1)－1)((x＋1)－2)－((x＋0)－0)((x＋0)－1)((x＋0)－2)

＝(x＋1)(x－0)(x－1)－(x－0)(x－1)(x－2)

＝((x＋1)－(x－2))(x－0)(x－1)提取因式

＝3(x－0)(x－1)

＝3x<平方>

使用递降阶乘x<n次递降阶乘>的话，就能让微分与差分充分对应。

x<立方>←→x<3次递降阶乘>＝(x－0)(x－1)(x－2)

Dx<立方>＝3x<平方>←→Δx<3次递降阶乘>＝3x<平方>

广义化。

x<n次方>的微分←→x<n次方>的差分

Dx<n次方>＝nx<n－1次方>←→Δx<n次方>＝nx<n－1次递降阶乘>

6．3．4指数函数e<x次方>

我们对微分算子定义了差分算子，再来为了让微分与差分完：对应，对乘幂x。定义了递降阶乘。

而现在要开始讨论指数函数e<x次方>，也就是寻找离散世界的指数函数。

※※问题6－3

对于连续世界的指数函数e<x次方>，定义离散世界的函数。

指数函数e<x次方>如同式子所示，是定数e的x次方函数，定数e是被称为自然对数的底的无理数。其值为2.718281828……虽然这是一个重要的知识，不过现在要站在更广的视点来看它。

指数函数e，在连续世界中有什么样的性质呢？

在这里稍微思考一下与微分关联的指数函数的本质。

指数函数e<x次方>最重要的性质就是『即使微分仍然不会改变』，也就是微分e<x次方>所得到的函数仍然是e<x次方>，不过本来就是为此定义出定数e的，会有这种结果也是理所当然。

利用『即使微分仍然不会改变』这个性质，在使用微分算子D后，可以用下面这个微分方程式表现。

De<x次方>＝e<x次方>

到这里为止是关于连续世界的指数函数。

现在开始要进入离散世界，将接下来要求的离散世界的指数函数称为E(x)，于是就会希望让E(x)具有『即使差分仍然不会改变』的性质，这个性质在使用差分算子Δ后，可以用下面式子表现，这次是差分方程式。

ΔE(x)＝E(x)

以差分算子Δ的定义将左边展开。

E(x＋1)－E(x)＝E(x)

整理之后得到递推公式。

E(x＋1)＝2×E(x)

此递推公式对0以上的整数x会成立，这是函数E(x)的性质。当括号中减少1，就会对应乘2，这样就能简单地解开这个递推公式。

E(x＋1)＝2×E(x)

＝2×2×E(x－1)代入E(x)＝2×E(x－1)

＝2×2×2×E(x－2)代入E(x－1)＝2×E(x－2)

＝2×2×2×2×E(x－3)代入E(x－2)＝2×E(x－3)

＝……

＝2x＋1×E(0)

最后得到这个式子。

E(x＋1)＝2x＋1×E(0)

E(0)的性质要怎么定义呢？由于e<0次方>＝1，所以定义成E(0)＝1是很妥当的，由上式可得对应指数函数e<x次方>的函数E(x)定义如下。

E(x)＝2x

所以就能做出以下的对应关系。

※※解答6－3(指数函数)

连续世界离散世界

e<x次方>2<x次方>

离散世界的指数函数是2的乘幂，不觉得对应地非常恰当吗？

6．4面往返于两个世界的旅程

在思考『微分差分』之后，这次换『积分和分』吧，这里只写出结果。

（JoyJ：以下部分很怪异，凭我的知识水平无法理解，因此基本照原样打出来，请海涵。即，此节内容与文本开头处的“TXT格式说明”不对应）

∫1＝x←→∑1＝x

∫t＝x<平方>/2←→∑t=(x<2次递降阶乘>)/2

∫t<平方>＝x<立方>/3←→∑t<2次递降阶乘>=(x<3次递降阶乘>)/3

.

∫t<n－1次方>＝x<n次方>/n←→∑t<n－1次递降阶乘>=(x<n次递降阶乘>)/n

∫t<n次方>＝x<n＋1次方>/n＋1←→∑t<n次递降阶乘>=(x<n＋1次递降阶乘>)/(n＋1)

在这里以∫代表全部的∫<x,0>，以∑代替全部的∑<x=1,t=0>，只是象征性的话，以下的对比是可能成立的。

D←→Δ

∫←→∑

如果以∫是罗马文字的S，∑是希腊文字的S来想的话，对比就更有意思了，连续的世界是罗马，离散的世界是希腊啊。

◎◎◎

……我回想着米尔迦的话，我们以连续世界的知识为基础，探索着离散的世界，与其说是追求严密的定义，不如说是追求合适的定义过程，思考对应微分的差分，并以此为基础思考对应xn的xn，再来以无法构成微分方程式的差分方程式找到对应e<x次方>的2x。

在两个世界不断来回的旅程让人感到无限自由，这种快乐到底是从那里来的呢？

听着米尔迦的话，让我觉得虽然我没有办法在她的『最近距离』，但是我希望至少能在她的『最近间隔』。

◎◎◎

先不管这个……

「米尔迦，刚才我说过的那个女孩，之后也会继续来问问题……」

「那个女孩？」

「我的学妹。」

「名字是？」

「蒂德菈，她之后也会继续来找我问问题……」

「……所以……我不能坐在你旁边了？」米尔迦边写笔记本边问。她并没有看我。

「咦？啊，不是不是，当然米尔迦什么时候要坐我旁边都行，要什么都可以，我只是想说不要再踢她椅子了……」

「我知道了。」米尔迦抬起头打断我的话，不晓得为什么她会露微笑，「你会在图书室教你的学妹×蒂德菈数学，我记住了，不用担心。」

嗯～～到底是什么不用担心啊？

「回到数学上吧，再来要思考什么呢？」米尔迦说。

第7章折积

使人感到完全没有错误的完美解法，

是怎么样才能想到的呢？

使人感到充分展现事实的完美实验，

又是如何被发现的呢？

到底要怎么做，我才能想到或发现那些东西呢？

——波利亚[1]

7．1图书室

7．1．1米尔迦

高中二年级的冬天。

「看过这个问题吗？」

在放学后的图书室里，我在惯用的座位上准备开始计算时，米尔迦跑了过来，她在我的面前放了一张纸，并用两手撑着桌子站着。

「这是什么？」我问。

「从村木老师那里拿来的问题。」她回答。

纸上这么写着。

※※问题7－1

0＋1＝（0＋1）

1的话1种(C<1>＝1)

0＋1＋2＝(0＋(1＋2))

＝((0＋1)＋2)

2的话2种(C<2>＝2)

0＋1＋2＋3＝(0＋(1＋(2＋3)))

＝(0＋((1＋2)＋3))

＝((0＋1)＋(2＋3))

＝((0＋(1＋2))＋3)

＝(((0＋1)＋2)＋3)

3的话5种(C<3>＝5)

0＋1＋2＋3＋……＋n＝？

n的话有几种(C<n>＝？)

「这题目好长，要是能再直接一点就好了。」我边将目光离开纸上边抱怨。

「喔……要直接一点？问题需要写出必要的重点以及维持适当的长度，还要形式化、定义用语、没有暧昧、威严中带有香气、能打动心灵……像这样吗？」

「就是这样。」我说。

「开玩笑就到此为止，我的递推公式就快完成了。」

「等一下，米尔迦，你是什么时候拿到这个的？」

「午休到教师办公室的时候，虽然有点偷跑。不过我已经确实交给你了，你从头开始吧，我到别的地方想，拜拜。」

米尔迦挥挥手，优雅地移动到窗边的座位，我的目光没有离开她。窗外是一棵棵已经落叶的梧桐树，更远的地方则是一片蓝天，天气虽然晴朗，却相当地寒冷。

我和米尔迦同样是高中二年级的学生，我们的数学老师村木老师有时候会出问题给我们，虽然老师有点奇怪，不过似乎满中意我们的。

米尔迦的数学很好，我虽然也不差，却赢不了她，每当我在图书室享受推演算式的乐趣时，她就会凑过来发表意见，并拿走我的自动铅笔擅自在我的笔记本上书写，然后开始演讲，不过这种时光也不会让人觉得不愉快……

我喜欢听米尔迦专心说话，也喜欢看她闭眼沉思，金属框的眼镜与她很相配，很搭配她脸庞清楚的线条……（无名之声：怎么不是喜欢她讲述的数学？）

不，比起这些，还是先回到问题上吧。她正在窗边思考答案，似乎是已经到达递推公式了，如果是她的话，或许很快就解决了。

将要解的问题整理一下吧。

0＋1，0＋1＋2，0＋1＋2＋3，……的式子，还有括号，因为有写着1的话1种，2的话2种，3的话5种，所以是要求括括号方法的总数，目标是求出0＋1＋2＋3＋……＋n这个式子括括号方法的总数。

n代表什么呢？算式0＋1＋2＋3＋……＋n从0开始表示共加了n＋1个数，n可以代表0＋1＋2＋3＋……＋n这个式子里『加号(＋)的个数』。

括括号的规则又是什么？在加号左右的式子称为项——两边各取一个数，也就是会像(0＋1)或(0＋(1＋2))这种2项的和(或是类似的组合)。但是不考虑(0＋1＋2)这种3项的和。

那按照理论，先从实例开始，题目写出了n＝1，2，3的状况，所以就先从n＝4开始，呃……出乎意料地多。

0＋1＋2＋3＋4＝(0＋(1＋(2＋(3＋4))))

＝(0＋(1＋((2＋3)＋4)))

＝(0＋((1＋2)＋(3＋4)))

＝(0＋((1＋(2＋3))＋4))

＝(0＋(((1＋2)＋3)＋4))

＝((0＋1)＋(2＋(3＋4)))

＝((0＋1)＋((2＋3)＋4))

＝((0＋(1＋2))＋(3＋4))

＝(((0＋1)＋2)＋(3＋4))

＝((0＋(1＋(2＋3)))＋4)

＝((0＋((1＋2)＋3))＋4)

＝(((0＋1)＋(2＋3))＋4)

＝(((0＋(1＋2))＋3)＋4)

＝((((0＋1)＋2)＋3)＋4)

竟然有14种，也就是4的话会有14种。

我在写的时候发现到规则，快找到有关「括括号方法的总数」的递推公式了。

举出实例后，接下来就是广义化，问题中当加号有n个时则将「括括号方法的总数」设为C<n>，刚才加号有4个，所以是C<4>＝14，到目前为止知道的有C<1>＝1，C<2>＝2，C<3>＝5，C<4>＝14，啊，也将C<0>＝1算进去，列出来就会出现下面的表。

n01234……

C<n>112514……

C<5>应该也会变得更大，那么，下一步就是「做出对C<n>的递推公式」了，做出来后，最后的目标就是「做出对于n，C<n>的闭公式」。

正当着手开始做出递推公式时，一位女孩从图书室的门口跑了过来。

是蒂蒂。

7．1．2蒂蒂

「啊～～学长。」蒂蒂跑到我的身旁，慌慌张张地开口：「已经开始用功了，我太慢了吗？」

蒂蒂是高中一年级的学生，总之就是我的学妹，她会像小松鼠或是小狗、小猫一样地黏着我，常常跑来问我一些数学的问题，不只是针对不懂的问题，也会提出根本上的疑问，虽然有点黏人，不过也不算是困扰。

「很急吗？」

「不、不会不会，没关系，只是有点事想问而已。」蒂蒂边向我摇手边后退三步。「打扰到你就不好了，所以等你要回去的时候再……今天也会待到关门吗？」

「是啊，我想应该会待到瑞谷管理员来宣布闭校为止，要一起回去吗？」

我偷偷地看向窗边，米尔迦面对桌子坐着，并将注意力集中在纸上，由于她背对着我，所以看不到她的表情，而她也没有任何动作。

「好的，请务必让我陪同，那我先告辞了。」

蒂蒂轻巧地踏稳脚步，在敬礼之后向右转，直接走出图书室，不过她在出去的那一瞬间偷偷瞄了米尔迦一眼。

7．1．3递推公式

那么，回到「括括号方法的总数」的递推公式。

从0到4有5个数，中间有4个加号。仔细想想，现在要求的是「括括号方法的总数」，所以那些数字本身并没有意义。也就是说：

((0＋1)＋(2＋(3＋4)))

可以用下列算式取代。

((A＋A)＋(A＋(A＋A)))

为了要做出递推公式，就必须看穿『括括号方法』背后的构造，然后找出规则性。由于这个式子有四个加号，所以先汇整成3个加号以下的状况，也就是说……

((A＋A)＋(A＋(A＋A)))——加号有四个

这种模式，也可以用这种情况来看。

((A＋A)＋(A＋(A＋A)))

1个加号2个加号

嗯，看出来了，最后的加号——也就是要注意最后才会加到的加号在哪里，以上式为例，从左边数来第二个是最后的加号，整个式子会根据最后的加号分成左右两个式子，将加号的位置从左边开始顺序移动的话，就能做出排他性质的类别，有4个加号的式子可以区分成以下4种，如果在最后的加号做上<>，会像下面一样。

((A)<+>(A＋A＋A＋A))

((A＋A)<+>(A＋A＋A))

((A＋A＋A)<+>(A＋A))

((A＋A＋A＋A)<+>(A))

在这个分类里，还是有像(A＋A＋A＋A)一样还没括完括号、依然是3项以上的和，不过加号的个数越变越少，所以可以带入之前的形式，嗯，这样似乎就能做出递推公式了。

有四个加号的形式，也就是说：

(A＋A＋A＋A＋A的形式)

有以下类别。

(A的形式)<分别对应于>(A＋A＋A＋A的形式)

(A＋A的形式)<分别对应于>(A＋A＋A的形式)

(A＋A＋A的形式)<分别对应于>(A＋A的形式)

(A＋A＋A＋A的形式)<分别对应于>(A的形式)

从这里开始发展成「类别的个数」。将「有n个加号的式子的括括号方法的总数」以C<n>表示的话，就能做出对C<n>的递推公式。

「分别对应于」的意思就是对应到「方法的总数」的积，在n＝4的状况，也就是以C1来表现式子时，C4会是下面4项的和。

C<0>×C<3>，C<1>×C<2>，C<2>×C<1>，C<3>×C<0>

也就是C<4>能写成下面式子。

C4＝C<0>C<3>＋C<1>C<2>＋C<2>C<1>＋C<3>C<0>

不错，这样就能广义化了。

C<n＋1>＝C<0>C<n－0>＋C<1>C<n－1>＋……＋C<k>C<n－k>＋……＋C<n－0>C<0>

出现了漂亮的式子了，在这里使用Σ让结构能更清楚呈现。

C<0>＝1

C<n＋1>＝Σ<k=0到n,C<k>C<n－k>>(n≥0)

很好，这样递推公式就完成了。

赶快来验算吧。

C<0>＝1

C<1>＝Σ<k=0到0,C<k>C<0－k>>＝C<0>C<0>＝1

C<2>＝Σ<k=0到1,C<k>C<1－k>>＝C<0>C<1>＋C<1>C<0>＝2

C<3>＝Σ<k=0到2,C<k>C<2－k>>＝C<0>C<2>＋C<1>C<1>＋C<2>C<0>＝5

C<4>＝Σ<k=0到3,C<k>C<3－k>>＝C<0>C<3>＋C<1>C<2>＋C<2>C<1>＋C<3>C<0>＝14

1，1，2，5，14，和一开始的实例吻合。

这样终于来到刚才米尔迦说的。递推公式就快完成了」的阶段，还真花了不少时间啊。

「现在是闭校时间。」

管理员瑞谷老师过来提醒大家。老师一向穿着紧身裙，戴着容易被误会成太阳眼镜的深色眼镜。平常会待在最里面的管理员室，时间到了就会无声无息地出现在图书室中央，提醒大家闭校时间到了。瑞谷管理员就像时钟一样。

喔，话说回来米尔迦呢？

转头看了一下，她已经不在了。

※※C<0>＝1

C<n＋1>＝C<k>C<n－k>(n≥0)

7．2于回家的路上将其广义化

「学长，『广义化』是什么呢？」蒂蒂用闪亮的双眼、开朗的声音向我发问。

我与蒂蒂并肩往车站走去，虽然在那之后有试着找过米尔迦，不过我到处都找不到她，而且连书包也消失，应该是回去了，真奇怪，就算已经解开了村木老师的问题，要回去也要先打声招呼吧。

天色虽然有点昏暗，不过路灯仍未亮起，我们走在住宅区间的复杂小路上。这是从学校到车站的最短距离，蒂蒂平常虽然都蹦蹦跳跳的，不过在回家的时候却会不可思议地慢慢走，我也只好配合着她的步调。

「要用一般的方法说明广义化并不容易，想想数学公式好了，想象有2或是3这种具体的数字构成的公式，将这样的公式变换成对任意整数n皆成立的代表性公式就称为『广义化』。」

「对任意整数n皆成立的公式……吗？」

「对，并不是对2或是3这种个别数字的公式，整数有无限个，并无法对2，3，4，……等等一一列举，应该说虽然可以列举，但是无法表现出全部，所以用含有变量n的方式替代，然后变量n可以代换任何整数皆成立。这就是『对任意整数皆成立的公式』。用『对所有整数皆成立』来表示也可以。」

「变数n……」

「在广义化的时候常常会出现新的变量，也可以说是『导入变量而形成的广义化』。」

蒂蒂突然打了一个大喷嚏。

「会冷吗？话说回来……你没围围巾啊。」

「是的，今天早上匆匆忙忙地从家里出来……」哈啾，她的鼻子又发出声响。

「这个借你，方便的话就用吧。」我把自己的围巾拿给她。

「谢、谢谢……哇，好温暖……不过这样就变成学长会冷了吧。」

「没关系没关系。」

「对不起，要是能『平分』围巾就好了。」

「……这就太大胆了……」

「咦？……唉呀！不是、不是啦，我不是那个意思……」她慌张赶摇手，而我只是嘻嘻笑着。「说、说到这里，刚才的『对任意整数皆成立的公式』，能再讲得更清楚一点吗？」蒂蒂赶紧将话题拉回来，她边挥着手边重新站好。

「好的好的，不过因为走路时没办法写算式，这样不好说明，假如你有时间的话，我们到『Beans』解释吧。」

「有时间，有时间。」蒂蒂突然加快脚步追过我，围着层层围巾的她看起来非常可爱。

「学长，快点～～」转头喊我的蒂蒂吐出白色的气息。

7．3于『Beans』演算二项式定理

在车站前的『Beans』里，我们一边喝着咖啡，一边展开算式。

例如这个公式。

(x＋y)<平方>＝x<平方>＋2xy＋y<平方>

「好的，呃……这是对于x和y的恒等式吧。」

嗯，这是将x＋y这个式子平方并展开后的样子表现出来，下个式子是三次式。

(x＋y)<立方>＝x<立方>＋3x<平方>y＋3xy<平方>＋y<立方>

到这里都没问题，接下来就试着将这个公式对指数广义化，也就是并非平方或三次方，而是『n次方的公式』，就是要求(x＋y)n的展开式的意思。

※※问题7－2

令n为1以上的整数，展开下面的式子。

(x＋y)<n次方>

首先在广义化之前，先将知道的具体知识整理一下，举出实例，然后观察它，这也是确认自己对问题是否已经理解了，『举例是理解的试金石』，将(x＋y)<n次方>以n＝1，2，3，4代入，就会像下面的式子。

(x＋y)<1次方>＝x＋y

(x＋y)<平方>＝x<平方>＋2xy＋y<平方>

(x＋y)<立方>＝x<立方>＋3x<平方>y＋3xy<平方>＋y<立方>

(x＋y)<4次方>＝x<4次方>＋4x<立方>y＋6x<平方>y<平方>＋4xy<立方>＋y<4次方>

然后进入广义化的过程，现在开始要求的就像下面这个式子。

(x＋y)<n次方>＝x<n次方>＋……＋y<n次方>

已经知道会出现x<n次方>项和y<n次方>项，之后只要把x<n次方>＋……＋y<n次方>的……部分填起来就好。

「……对不起，我记不住。」蒂蒂说。

不对，不是要记起来，而是要思考、思考。

再来思考下面这式子吧。

(x＋y)<1次方>＝(x＋y)

(x＋y)<平方>＝(x＋y)(x＋y)

(x＋y)<立方>＝(x＋y)(x＋y)(x＋y)

(x＋y)<4次方>＝(x＋y)(x＋y)(x＋y)(x＋y)

(x＋y)<n次方>＝(x＋y)(x＋y)(x＋y)……(x＋y)

n个

「这我就懂了，就是把(x＋y)乘n次。」

是啊，所以当n个(x＋y)互乘的时候，就是从每一个(x＋y)中选出x或是y来乘，譬如说三次方，就是从三个(x＋y)中各自选出1个x或y，思考全部的选择方式，将选择的部分以<>作记号。

(<x>＋y)(<x>＋y)(<x>＋y)→xxx＝x<立方>

(<x>＋y)(<x>＋y)(x＋<y>)→xxy＝x<平方>y

(<x>＋y)(x＋<y>(<x>＋y)→xyx＝x<平方>y

(<x>＋y)(x＋<y>)(x＋<y>)→xyy＝xy<平方>

(x＋<y>)(<x>＋y)(<x>＋y)→yxx＝x<平方>y

(x＋<y>)(<x>＋y)(x＋<y>)→yxy＝xy<平方>

(x＋<y>)(x＋<y>)(<x>＋y)→yyx＝xy<平方>

(x＋<y>)(x＋<y>)(x＋<y>)→yyy＝y<立方>

这样就全部列出来了，然后将这些全部相加

xxx＋xxy＋xyx＋xyy＋yxx＋yxy＋yyx＋yyy＝x<立方>＋x<平方>y＋x<平方>y＋xy<平方>＋x<平方>y＋xy<平方>＋xy<平方>＋y<立方>

就变成

x<立方>＋3x<平方>y＋3xy<平方>＋y<立方>

这就是我们要求的式子，从(x＋y)(x＋y)(x＋y)展开的「和的积」，变成x<立方>＋3x<平方>y＋3xy<平方>＋y<立方>这种「积的和」；反过来说将「积的和」变成「和的积」就是因式分解。

「原来如此，我终于懂了……总觉得xxx，xxy，xyx，……，yyy这些的排列方式好像有规则性。」

嗯，很敏锐喔，蒂蒂。

「嘿嘿。」她害羞地伸了伸舌头。

那继续吧，要从(x＋y)中选出x或y其中之一，那么『全部选择x的选法』会有几个呢？

「嗯，一定要选x的话……就只有1个。」

没错，那么『x有n－1个，y有1个的选法』呢？

「嗯，最右边选y，其它选x，右边数来第二个选y……这样的话会有n个。」

答对了，正确答案，那接下来是广义化啰，『x有n－k个，y有k个的选法』有几个？

「呃，嗯，n是(x＋y)的个数的话，那k是什么？」

这是很好的问题，k是为了要广义化而导入的变量，表示选择y的个数，k为整数，并满足0≤k≤n的条件，刚才我们讨论的是k＝0(全部选择x的选法)和k＝1(y有1个的选法)的情形。

「所以这就是从n个里面选出k个的情形，因为选择的顺序已经决定好了，所以是组合……吧。」

对，组合，用y选择k个，x选择n－k个的情形来作组合的话，就会如下式。

()<n,k>＝((n－0)(n－1)…(n－(k－1)))/((k－0)(k－1)…(k－(k－1)))

这就是x<n－k次方>y<k次方>的系数。

「学长，我有问题。」蒂蒂举起右手，「『()<n,k>』是什么呢？组合的话是<组合,n,k>吧，假如是这个的话我还懂……」

「是的，()<n,k>和nCk完全一样，在数学的书里，组合很常写成()<n,k>。另外，矩阵和向量的写法也很类似()<n,k>，不过和组合没有关系。」

「好，我知道了，还有一个问题，组合我记得是……

<组合,n,k>＝n!/(k!(n－k)!)

这和学长的式子不太一样。」

不，假如将(n－k)!的部分约分之后就会发现其实是一样的、譬如说，从5个里面选出3个……

<组合,5,3>＝5!/(3!(5－3)!)

＝5!/(3!2!)

＝(5×4×3×2×1)/(3×2×1×2×1)

＝(5×4×3)/(1×2×1)

＝()<5,3>

看，是一样的。

组合若是用递降阶乘表现会更清楚。所谓的递降阶乘写作x<n次递降阶乘>，是从第n阶的阶梯不断下降的积喔，也就是说像这样。

<n次递降阶乘>＝(x－0)(x－1)(x－2)……(x－(n－1))——共n个因式

普通阶乘n！的递降阶乘写成……

n!＝n<n次递降阶乘>

使用递降阶乘，就可以将()<n,k>表现得更漂亮。

()<n,k>＝n<k次递降阶乘>/k<k次递降阶乘>

※※从n个中选k个出来组合的个数

<组合,n,k>＝()<n,k>

＝n!/(k!(n－k)!)

＝((n－0)(n－1)…(n－(k－1)))/((k－0)(k－1)…(k－(k－1)))

＝n<k次递降阶乘>/k<k次递降阶乘>

「呃、这个……」

抱歉，稍微离题了，回到主题吧，已经得到(x＋y)n的展开式了，为了将规则性表现出来会写得稍微冗长一点。

(x＋y)n＝(选0个y)

＋(选1个y)

＋……

＋(选k个y)

＋……

＋(选n个y)

＝()<n,0>x<n－0次方>y<0次方>

＋()<n,1>x<n－1次方>y<1次方>

＋……

＋()<n,k>x<n－k次方>y<k次方>

＋……

＋()<n,n>x<n－n次方>y<n次方>

注意每一项变化的部分，用Σ来表现就会得到下列的式子，这是二项式定理。

※※解答7－2

(x＋y)<n次方>的展开(二项式定理)

(x＋y)<n次方>＝Σ<k=0到n,()<n,k>x<n－k次方>y<k次方>>

一开始就算知道这个展开还是不容易记忆，不过有自己动手导出公式的经验就不会太难记了，不断练习让自己导出公式的话，就会在不知不觉中记住，之后就不需要再慢慢导了……虽然这是反过来的说法，不过也颇有趣的。

「学长……出现了Σ，似乎突然变得很难了……」

假如不安的话，也可以将Σ表示的项具体地写出来，k＝0的时候、k＝1的时候、k＝2的时候，在习惯之前这很重要。

「啊……不过没想到会在这里用到组合，读机率的时候，练习选红球和白球的问题时，计算中有一堆乘法让我印象深刻，演算变得像在练习约分一样，不过没想到在算式展开当中会以这种方式用到组合。」

接下来就是验算了，思考具体的例子，广义化后，在完成前一定要验算，在这里不能偷懒，用n＝1，2，3，4确认。

(x＋y)<1次方>＝Σ<k=0到1,()<1,k>x<n－k次方>y<k次方>>

＝()<1,0>x<1次方>y<0次方>＋()<1,1>x<0次方>y<1次方>

＝x＋y

(x＋y)<平方>＝Σ<k=0到2,()<2,k>x<n－k次方>y<k次方>>

＝()<2,0>x<平方>y<0次方>＋()<2,1>x<1次方>y<1次方>＋()<2,2>x<0次方>y<平方>

＝x<平方>＋2xy＋y<平方>

(x＋y)<立方>＝Σ<k=0到3,()<3,k>x<n－k次方>y<k次方>>

＝()<3,0>x<立方>y<0次方>＋()<3,1>x<平方>y<1次方>＋()<3,2>x<1次方>y<平方>＋()<3,3>x<0次方>y<立方>

＝x<立方>＋3x<平方>y＋3xy<平方>＋y<立方>

(x＋y)<4次方>＝Σ<k=0到4,()<4,k>x<n－k次方>y<k次方>>

＝()<4,0>x<4次方>y<0次方>＋()<4,1>x<立方>y<1次方>＋()<4,2>x<平方>y<平方>＋()<4,3>x<1次方>y<立方>＋()<4,4>x<0次方>y<4次方>

＝x<4次方>＋4x<立方>y＋6x<平方>y<平方>＋4xy<立方>＋y<4次方>

蒂蒂将式子一个个确认之后点点头说：「虽然公式里出现一堆文字会让人觉得『啊，好烦』，不过一想到这是广义化的结果，就觉得可以接受，会有一堆文字也是没办法的事。」

嗯，为了取代无限个具体的公式，而用了n这个变量替代，这就是广义化的公式。在各项的部分也用了k这个变数来广义化。

「是的，不过……n－k和k交错在一起，要分辨也很麻烦。」

不要将n－k和k分开思考，而是要想『和就是n』，然后在这个和中从0到n间取平衡，一开始x的指数是n最大，这时y的指数是0最小，然后x的指数每减1，y的指数就加1，最后x的指数变成最小的0，y的指数是最大的n，要像这样思考，而k就是中间平衡的位置。

k＝0xxxxxx｜

k＝1xxxxx｜y

k＝2xxxx｜yy

k＝3xxx｜yyy

k＝4xx｜yyyy

k＝5x｜yyyyy

k＝6｜yyyyyy

「啊……从x到y慢慢地移动。」

没错，将全部n次方分配到x与y上，就像『平分』围巾一样。

「学、学长！你还记得这个话题啊……」

7．4于自家中解生成函数的积

夜深了，家人也都睡了，我独自在房间静下来思考。C<n>的递推公式已经完成了。

C<0>＝1

C<n＋1>＝C<k>C<n－k>(n≥0)

而我接下来想尝试一样东西，那就是生成函数的解法。

米尔迦和我曾寻找过斐波那契数列的一般项，那时候她将数列与生成函数做了对应，我们在两个国度——『数列之国』与『生成函数之国』中环绕。

我打开笔记本，一边搜寻记忆一边开始写下。

当得到数列a<0>，a<1>，a<2>，……，a<n>……之后，就将数列各项的系数以a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>＋……＋a<n>x<n次方>＋……形式的幂级数来表现，这就是生成函数，然后以下面的对应关系，将数列与生成函数视为一样的东西……

数列←→生成函数

a<0>，a<1>，a<2>，……，a<n>……←→a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>＋……＋a<n>x<n次方>＋……

如此对应的话，就可以将无穷的数列以一个生成函数呈现，而且若是将生成函数以闭公式表现，就会得到数列一般项的闭公式这个令人赞叹的结果。

我和米尔迦使用生成函数求得斐波那契数列的一般项，就像原本捧在手上快要散落的数列，被名为生成函数的一条线串了起来，那真是一次难以言喻的经验。

我想用这种解法来解开这次的问题。

※※(求Cn闭公式的旅行地图)

数列C<n>→生成函数C(x)

↓

数列C<n>的闭公式←生成函数C(x)的闭公式

由n个加号构成的式子设成C<n>，则得数列C<0>，C<1>，C<2>，……，C<n>……。

再将此数列之生成函数设为C(x)，x是为了不让数列混乱的形式上变数，x<n次方>的指数n会与C<n>的n对应，则C(x)会如下所示。

C(x)＝C<0>＋C<1>x＋C<2>x<平方>＋……＋C<n>x<n次方>＋……

以上是生成函数的定义，到这里为止还不需要动脑筋，没错，要到生成函数的国度是很简单的。

要动脑的部分从现在才开始。

现在我手上拥有的武器只有C<n>的递推公式而已，下一步是要用递推公式求C(x)的闭公式，我想求出C(x)的『对x的闭公式』，而这个式子应该不会出现n。

不过，这次的递推公式不像斐波那契数列那时候一样单纯，那时候确实是在生成函数中乘上x，然后不断地『移动』系数，最后相加相减才将n消掉。

但是这次的递推公式C<n＋1>＝Σ<k=0到n,C<k>C<n－k>>相当麻烦，是在C<k>C<n－k>这个积上再加入了Σ，形成繁琐的『积的和』形式。

嗯？

「积的和」……吗？

而且是C<k>和C<n－k>这种「标记之和为n」的形式……吗？

原来如此。

我想起自己对蒂蒂说过的话了。

……不要将n－k和k分开思考，而是要想『和就是n』，然后在这个和中从0到n间取平衡……

这次的递推公式也很类似，C<k>和C<n－k>的标记之和为n，然后为了和的平衡，k会在0与n之间变动。

现在知道的递推公式C<n＋1>＝Σ<k=0到n,C<k>C<n－k>>是这样表现的，假如能好好运用Σ<k=0到n,C<k>C<n－k>>作成「积的和」的形式，就可以用这样比较单纯的项置换。

仔细想想，有哪些场合会出现「积的和」。

……将(x＋y)(x＋y)(x＋y)这种「和的积」变成x<立方>＋3x<平方>y＋3xy<平方>＋y<立方>这种「积的和」，这就是展开……

将「和的积」展开，就会变成「积的和」吗？

好。

关键似乎就是积了，试试看生成函数的积吧，动手算或许就能发现什么。

由于只有生成函数C(x)，所以先试试看平方会出现什么呢？生成函数如下。

C(x)＝C<0>＋C<1>x＋C<2>x<平方>＋……＋C<n>x<n次方>＋……

所以平方的话……会变成这样。

C(x)<平方>＝(C<0>C<0>)＋(C<0>C<1>＋C<1>C<0>)x＋(C<0>C<2>＋C<1>C<1>＋C<2>C<0>)x<平方>＋……

常数项是C<0>C<0>，x项系数是C<0>C<1>＋C<1>C<0>，x<平方>项系数是C<0>C<2>＋C<1>C<1>＋C<2>C<0>啊。

接着用广义化——我想起了蒂蒂那双大眼睛——表现C(x)<平方>的x<n次方>系数

宁静的空间中只剩下写字的沙沙声。

……完成了，这就是x<n次方>的系数。

C<0>C<n>＋C<1>C<n－1>＋……＋C<k>C<n－k>＋……＋C<n－1>C<1>＋C<n>C<0>

要注意标记的部分，而在C<k>C<n－k>中，左边的k渐渐变大，右边的n－k渐渐变小，k在0到n的范围内移动。

到这里为止写得相当冗长不容易懂，所以使用Σ，广义来说，x的系数就是

Σ<k=0到n,C<k>C<n－k>>

由于这是C(x)<平方>这个式子的「x<n次方>的系数」，所以C(x)<平方>这个式子就会变成二重和的形式……写成……

C(x)<平方>＝Σ<n=0到∞,Σ<k=0到n,C<k>C<n－k>>x<n次方>>

出来了。

求出来了！

求出漂亮的「积的和」Σ<k=0到n,C<k>C<n－k>>了，所以之后这个部分应该可以用递推公式简化，由递推公式得……

Σ<k=0到n,C<k>C<n－k>>

可以置换成以下这个单纯的项。

C<n＋1>

也就是说……

可以将生成函数C(x)的平方大幅简化了，将C<k>C<n－k>用C<n＋1>替换吧。

C(x)<平方>＝C(x)<平方>＝Σ<n=0到∞,Σ<k=0到n,C<k>C<n－k>>x<n次方>>

＝C(x)<平方>＝Σ<n=0到∞,C<n＋1>x<n次方>>

喔～～二重和变成一般的和了。

不过等一下，C<n＋1>的标记和x<n次方>的指数差了1。

嗯～～啊，对了，消除差距的状况在斐波那契数列的时候也有过，只要将差距的部分乘上x就好，将两边乘x……

x×C(x)<平方>＝x×Σ<n=0到∞,C<n＋1>x<n次方>>

将右边的x加入∑中。

x×C(x)<平方>＝Σ<n=0到∞,C<n＋1>x<n＋1次方>>

将n＝0的部分视为n＋1＝1，这是为了配合标记与指数。

x×C(x)<平方>＝Σ<n＋1＝1到∞,C<n＋1>x<n＋1次方>>

然后将n＋1全部置换成n。

x×C(x)<平方>＝Σ<n＝1到∞,C<n>x<n次方>>

很好，这样右边的就几乎等于生成函数C(x)了，只需要将C<n>的部分减掉。

x×C(x)<平方>＝Σ<n＝0到∞,C<n>x<n次方>>－C<0>

这样就把n消掉了！

x×C(x)<平方>＝C(x)－C<0>

用C<0>＝1代入，将式子作整理。

x×C(x)<平方>＝C(x)＋1＝0

得出了C(x)的二次方程式，令x≠0然后求解舍得到下式。

C(x)＝(1±<根号1－4x>)/2x

嗯。

很顺利。

从生成函数的积做出漂亮的「积的和」，然后导出闭公式，没想到生成函数的积会这么有用。

不过我还不晓得为什么会有两个一正一负生成函数，而且<根号1－4x>的部分又是怎么回事？似乎还有很深的谜。

不过不管怎么说，n都已经消掉了。

我导出了生成函数C(x)的闭公式。

之后就是将这个闭公式以幂级数展开就好。

7．5图书室

7．5．1米尔迦的解

隔天放学后的图书室里，米尔迦坐在我的身旁。

「原本想用递推公式的……」米尔迦先开口：「……不过中途改变方针了。」

「咦？不用递推公式解吗？」

「我没有用递推公式来解，因为我找到了更好的对应。」

(更好的对应？)

我打开笔记本，米尔迦迅速地在上面写。

「以n＝4来举例。

((0＋1)＋(2＋(3＋4)))

仔细观察的话，即使『括号的后半』消掉了也可以复原。

((0＋1＋(2＋(3＋4

能让括号可以复原的，就是『加号连结两个项』的限制。」

「原来如此，只要在即将出现的两个项时插入括号的后半就可以了。」我了一下回答她想，我虽然放弃了，但是没想到((A＋A)＋(A＋(A＋A)))可以更简化。

米尔迦的嘴唇微微上扬露出微笑。

「说得更明白一点，数字根本就不必要，可以直接变成……

（（＋＋（＋（＋

这是可以复原的，只要在加号的左侧填入数字，不过最后的4要写在右侧。」

「原来如此。」我说。

「简单来说括括号方法的总数就是『括号前半』与『加号』的排列组合，以n＝4来说，就是4个括号前半与4个加号的排列，假设以8个＊并排。

＊＊＊＊＊＊＊＊

然设将其中4个变成括号前半。

（（＊＊（＊（＊

然后再将剩下来的*自动变成加号。

（（＋＋（＋（＋

从8个符号里（括号与加号各4个），选出变为括号前半的4个演算组合就是()<8,4>，这是n＝4的情况，广义化则是从2n个文字中（括号与加号各n个)，选出变为括号前半的n个作组合，也就是()<2n,n>……像这样组合的话，也等同于下图中方格路径的最短路线，从左下的S开始，到右上的G，箭头指的道路对应（（＋＋（＋（＋的文字列。」

[插图：画一个4格×4格的表格，每格均为正方形。左下角一点为S，右上角一点为G。在最左一列的每格左侧写一个（，在最上一列的每格上方写一个＋。之后从左下角沿表格线描箭头：上上右右上右上右，从S点一直描到G点]

「那么，接下来……」

「等一下」……我打断了滔滔不绝的米尔迦。

「米尔迦，这里有点奇怪。因为这并不是在8个之中任意取4个，譬如说，就算将括号与加号各取4个也不能排成这样啊。

（（＋＋＋＋（（

将这个对应在你画的图上就知道了，这个图表不能经过有◎的地方再到达终点。」

[插图：画一个4格×4格的表格，每格均为正方形。左下角一点为S，右上角一点为G。在最左一列的每格左侧写一个（，在最上一列的每格上方写一个＋。之后从左下角沿表格线描箭头：上上右右上右上右，从S点一直描到G点。之后在S点右边一个格的交叉点处画◎，并在其右上方45度角的所有交叉点上画◎]

被打断话的米尔迦嘟起嘴抱怨：「我还没说完啊。」

◎◎◎

「我还没说完啊。在排列括号与加号时，有着加号数量不能超过括号数量的限制。

当加号数量超过括号数量的时候，就会像你说的一样，也就是上图中通过◎的状况，不通过◎而从S到G的方法数才会等于C<n>。

不考虑限制的话，从S到G的方法有()<2n,n>。」

那么，从S到G之间曾经通过◎一次以上的方法数又有多少呢？

将第一次碰到◎的地方设为P，在通过P之后将前进的方向政变，把斜虚线当成镜子，从P→G之间原本是→的话就改成↑，原本是↑的话，就改成→，也就是说终点不是G而是G’。

G’是G镜中的投影点，简单来说，就是将（（＋＋＋＋（（变成（（＋＋＋（＋＋。

这样思考的话，通过◎的方法数就会和从S到G’的方法数一对一对对应，从纵向横向都是2n的道路，变成横向n＋1的道路来算组合，也就是变成()<2n,n＋1>。

[插图：画一个4格×4格的表格，每格均为正方形。左下角一点为S，右上角一点为G。在最左一列的每格左侧写一个（，在最上一列的每格上方写一个＋。之后在S点右边一个格的交叉点处画◎，并向其右上方45度角引斜线，在斜线经过的的所有交叉点上画◎。之后，在表格右侧补一列格子，擦去最上面的一个，新补的格子中右上角的点为G’点。之后从左下角沿表格线描箭头：上上右右右上上右，从S点一直描到G’点。]

换句话说，下式会成立。

C<n>＝(从S到G的方法数)－(从S到G’的方法数)

接下来就是计算了，快点快点，彻底使用递降阶乘吧。

C<n>＝()<2n,n>－()<2n,n＋1>

＝2n<n次递降阶乘>/n<n次递降阶乘>－2n<n＋1次递降阶乘>/n＋1<n＋1次递降阶乘>使用()<n,k>=n<k次递降阶乘>/k<k次递降阶乘>

＝((n＋1)×2n<n次递降阶乘>)/((n＋1)×n<n次递降阶乘>)－(2n<n＋1次递降阶乘>×n)/(n＋1)n<n次递降阶乘>通分

这边的通分，尤其是第二项会有点难懂，虽然只要明白递降阶乘的含义就会很清楚。不过还是补充一下。

分子是这样变形的，是将(n)这个『尾巴』提出来。

(2n)<n＋1次递降阶乘>＝(2n)×(2n－1)(2n－2)……(n＋1)×(n)

＝(2n)<n次递降阶乘>×(n)

然后分母是这样变形的，这次是将(n＋1)这个『头』提出来。

(n＋1)<n＋1次递降阶乘>＝(n＋1)×(n)×(n－1)……2×1

＝(n＋1)×(n)<n次递降阶乘>

就是这样，继续计算C<n>吧，通分后……

C<n>＝(((n＋1)×2n<n次递降阶乘>)－(2n<n＋1次递降阶乘>×n))/((n＋1)×n<n次递降阶乘>)

＝(((n＋1)－n)×(2n)<n次递降阶乘>)/((n＋1)×n<n次递降阶乘>)分子用(2n)<n次递降阶乘>

＝(1/(n＋1))×(2n<n次递降阶乘>)/n<n次递降阶乘>)整理

＝(1/(n＋1))×()<2n,n>代入n<k次递降阶乘>/k<k次递降阶乘>＝()<n,k>

得到有n个加号的式子的括括号方式的总数如下。

C<n>＝(1/(n＋1))×()<2n,n>

好，这样就告一个段落了，来验算看看吧。」

◎◎◎

我一边为米尔迦的简单解法感到震惊，一边计算。

C<1>＝(1/(1＋1))×()<2,1>＝(1/2)×(2/1)＝1

C<2>＝(1/(2＋1))×()<4,2>＝(1/3)×((4×3)/(2×1))＝2

C<3>＝(1/(3＋1))×()<6,3>＝(1/4)×((6×5×4)/(3×2×1))＝5

C<4>＝(1/(4＋1))×()<8,4>＝(1/5)×((8×7×6×5)/(4×3×2×1))＝14

「好厉害……确实是1，2，5，14！」

米尔迦听到了我的话后露出微笑。

※※解答7－1

C<n>＝(1/(n＋1))×()<2n,n>

「那这次换你了。」

7．5．2面对生成函数

虽然是被米尔迦硬塞的作业，不过她优雅的解法还是很让我震惊，即使想以生成函数解答，可是我只做出繁琐的闭公式，也还没找到正确答案，我是不是挑战超过我能力的问题呢？我昨晚完成生成函数的积的感动已经烟消云散了。

有点不甘心。

米尔迦摆出有点困扰的表情催促我：「没关系，你就说说看吧，做出递推公式，然后呢？」

我说出了想尝试生成函数的解法，从做出生成函数的积，到「漂亮的积的和」，再到二次方程式，最后到达了生成函数的闭公式，虽然抵达生成函数的国度，却回不了数列的国度。

非常地不甘心。；

「是什么样的式子？」米尔迦问。

我没有说话。

「嗯？是什么式子？」她看着我的脸。

没办法的我只好在笔记本上写下式子。

C(x)＝(1±<根号1－4x>)/2x

「嗯，有两个难题，±的部分与<根号1－4x>的部分。」

「我也知道，就是卡在这里啊。」

米尔迦不理会我烦躁的语气继续说下去。

「先从±的部分思考看看。」

米尔迦看了一下算式之后闭上眼睛，似乎感觉到什么而将脸朝向上方，她将右手食指向上指，然后转圈，画着零、画着零，画出了无穷大，然后睁开眼睛。

「回到定义吧，生成函数C(x)是这个式子吧。」

C(x)＝C<0>＋C<1>x＋C<2>x<平方>＋……＋C<n>x<n次方>＋……

「也就是说，当x＝0的时候，含有x的项会全部消失，变成C(0)＝0，此时再回到你发现的闭公式吧。」

C(x)＝(1±<根号1－4x>)/2x

「这里的C(0)会怎么样呢？」

「不行，因为0是除数。所以C(0)会变成无限大。」我回答，我已经冷静下来了，因为对米尔迦生气又能怎么样？闹脾气又能怎么样？

「不，不对。」米尔迦缓缓地摇头，「虽然有一边是无限大，但另一边是不固定的。C(x)的±里，正的设为C<＋>(x)，负的设为C<－>(x)……

C<＋>(x)＝(1＋<根号1－4x>)/2x

C<－>(x)＝(1－<根号1－4x>)/2x

……就会变成这样，为了不让零变成除数，就将分母移过去。」

2x×C<＋>(x)＝1＋<根号1－4x>

2x×C<－>(x)＝1－<根号1－4x>

「当x＝0的时候左边都会是0，而1＋<根号1－4x>会变成2，1－<根号1－4x>才会是0，所以这是怎么回事呢？」

「至少可以知道C<＋>(x)是不合的……」

「大概吧，虽然没有深入去学生成函数，没办法清楚地说明，至少没有必要再去管C<＋>(x)了，发现式子只要将注意集中在C<－>(x)就好，接下来你认为呢？」

「就是处理<根号1－4x>吧。」我说。

对着心情已经回复的我，米尔迦微微一笑。

※※生成函数C(x)的闭公式

C(x)＝(1－<根号1－4x>)/2x

7．5．3围巾

这时候我注意到蒂蒂站在图书室的入口，她正看着坐在一起的我和米尔迦，两手拿着纸袋摆在身体前方，她是从什么时候开始以这样姿势站着的呢？

我轻轻地向蒂蒂招招手，她和平常不同，不是蹦蹦跳跳地而是慢慢地走向这里，脸上还露出认真的神情。

「……学长，昨天真是谢谢你了。」

蒂蒂以平静的语调说着并敬了个礼，然后将纸袋交给我，里面有好的围巾。

「啊，嗯，不客气，没感冒吧。」

「嗯，没事，因为学长借了我围巾，又和我一起喝了热饮。」

蒂蒂边说边将视线转向米尔迦，我也跟着看过去，米尔迦拿着自动铅笔的手停了下来，抬起头的她往纸袋瞥了一眼后看向蒂蒂，两个女孩无言地对望。

没有任何人说话。

经过四秒。

蒂蒂「呼」地吐了一口气后重新面向我。

「今天就告辞了，之后也请继续教我数学。」蒂蒂行个礼，缓缓走出图书室，在入口的时候她又回过头，再次行礼。

这时的米尔迦已经重新面对纸张，准备继续计算。

「有想到什么吗？」我问，当然是关于的事。

米尔迦没有抬头，她一边写着式子一边回答。

「信。」

「咦？」

「……里面有信。」米尔迦仍旧没有停止计算。

我看了看袋子并伸手进去找，在围巾下似乎有什么东西，拿出来看才发现是张相当秀气的米白色卡片，为什么米尔迦会注意到有卡片呢？

上面有着蒂蒂留下的简短讯息。

谢谢你温暖的围巾。蒂德菈

P.S.要再约我去『Beans』喔！

7．5．4最后的关卡

我们回到问题上。

求出的生成函数C(x)的闭公式如下所示。

※※生成函数C(x)的闭公式

C(x)＝(1－<根号1－4x>)/2x

按下来的问题就是要怎么处理<根号1－4x>了。

「似乎找不到下一步要怎么做了，米尔迦，得到了C(x)的闭公式之后……我们求斐波那契一般项那时候是怎么做的？」

「C(x)的闭公式能做的只有找到x<n次方>的系数，简单地说，就是展开幂级数。」米尔迦如此回答。

「<根号1－4x>还真麻烦啊，话说回来要怎么处理<根号1－4x>呢？」我抱怨着。

「也只能展开幂级数了，假设将系数的数列设做K<n>，就可以像这样展开。」米尔迦写出式子。

＝K<0>＋K<1>x＋K<2>x<立方>＋……＋K<n>x<n次方>＋……

＝Σ<k=0到∞,K<k>x<k次方>>

「然后生成函数C(x)是这个式子。

C(x)＝(1－<根号1－4x>)/2x

所以将分母移项，变成下面的式子。

2x×C(x)＝1－<根号1－4x>

在这里置入C(x)＝Σ<k=0到∞,C<k>x<k次方>>及<根号1－4x>＝Σ<k=0到∞,K<k>x<k次方>>，就会变成……

2x×Σ<k=0到∞,C<k>x<k次方>>＝1－Σ<k=0到∞,K<k>x<k次方>>

将左边2x移到里面，右边的k＝0移项到外面。

Σ<k=0到∞,2C<k>x<k＋1次方>>＝1－K<0>－Σ<k=0到∞,K<k>x<k次方>>

将左边调整成从k＝1开始。

Σ<k=1到∞,2C<k－1>x<k次方>>＝1－K<0>－Σ<k=0到∞,K<k>x<k次方>>

将∑往左边集中。

Σ<k=1到∞,2C<k－1>x<k次方>>＋Σ<k=0到∞,K<k>x<k次方>>＝1－K<0>

这样就整理好∑了，由于是无穷级数，所以要改变和的顺序必须清楚说明条件，不过现在为了先找到式子就先省略。

Σ<k=1到∞,(2C<k－1>＋K<k>)x<k次方>>＝1－K<0>

由于上式是对x的恒等式，所以将两边的系数比较之后，就可以得到Kn与Cn的关系式。

0＝1－K<0>比较x<0次方>的系数

2C<0>＋K<1>＝0比较x<1次方>的系数

2C<1>＋K<2>＝0比较x2的系数

2C<n>＋K<n＋1>＝0比较xn的系数

将其整理之后得到

K<0>＝1

C<n>＝-K<n＋1>/2(n≥0)

也就是K<n>的话也会自动得到C<n>，而最后的关卡则是<根号1－4x>的展开了。

7．5．5陷落

米尔迦似乎等不及地说出：

「那么就来攻陷最后的关卡吧，现在令K(x)＝<根号1－4x>，然后目标是求……

K(x)＝Σ<k=0到∞,K<k>x<k次方>>

的(K<0>，K<1>，……，K<n>……)，从哪里开始好呢？」

「从最容易的地方开始吧。」我说。

「喔，那你知道要怎么做吗？」

「试试看x＝0吧。」我马上回答：「这样的话，Σ<k=0到∞,K<k>x<k次方>>除了常数项以外都会消掉，也就是会变成这样。」

K(0)＝K<0>

「没错，然后呢？」米尔迦问。

「是问x要怎么设吗？」我反问。

「不是，是要你赶快用解析函数的基本技术。」米尔迦有点不悦地回答。

「什么？」

「微分。把K(x)用x微分的话，数列就会变换，常数项会变成K1。

K(x)＝K0＋K1x<1次方>＋K2x2＋K3x3＋……＋Knxn＋……

↓↓ ↓ ↓

K’(x)＝1K<1>＋2K<2>x<1次方>＋3K<3>x<平方>＋……＋nK<n>x<n－1次方>＋……

所以……

K’(0)＝1K<1>

知道为什么要明白写出1了吧？因为微分会让指数下降，这是为了区别它的规律，到这里就轻松了，将K’(x)再微分会得到下列式子。

K’’(x)＝2×1K<2>＋3×2K<3>x<1次方>＋……＋n×(n－1)K<n>x<n－2次方>＋……

所以当x＝0时，会出现下面的式子。

K’’(0)＝2×1K<2>

之后就不断地重复，将K(x)微分n次以K<(n),>(x)表示的话，

K<(n),>(x)＝n(n－1)(n－2)……2×1K<n>＋(n＋1)n(n－1)(n－2)……真是麻烦……

因为太长了，就用递降阶乘书写。

K<(n),>(x)＝n<n次递降阶乘>K<n>

＋(n＋1)<n次递降阶乘>K<n>＋1x<1次方>

＋……

＋(n＋k)<n次递降阶乘>K<n＋k>x<k次方>

＋……

所以令x＝0会变成这个算式。

K<(n),>(0)＝n<n次递降阶乘>K<n>

也就是用K<(n),>(0)可以表示K<n>，简单地说就是泰勒展开式。

K<n>＝K<(n),>(0)/n<n次递降阶乘>

到这里告一段落。」

米尔迦喘了一口气。

「嗯，不过到这里就无法继续下去了，已经没路了。」我说。

「为什么这说呢？现在已经用幂级数捉住K(x)了，接下来就用普通的函数型式捕捉吧。」

「捕捉？」

「使用解析函数的基本技术，还是微分。」

说完话的米尔迦对我眨眨眼，这或许是她第一次有那纯真的表现。

「回想K(x)的定义……

K(x)＝<根号1－4x>

……也就是说，由于平方根是1/2次方，所以……

K(x)＝(1－4x)<1/2次方>

一边注意规律，一边反复地微分。

K(x)＝(1－4x)<1/2次方>

K’(x)＝2×(1－4x)<-1/2次方>

K’’(x)＝－2×2×(1－4x)<-3/2次方>

K’’’(x)＝－2×4×3×(1－4x)<-5/2次方>

K’’’’(x)＝－2×6×5×4×(1－4x)<-7/2次方>

K<(n),>(x)＝－2×(2n－2)<n－1次递降阶乘>×(1－4x)<-(2n－1)/2次方>

K<(n＋1),>(x)＝－2×(2n)<n次递降阶乘>×(1－4x)<-(2n＋1)/2次方>

将x＝0代入就形成最后的式子。

K<(n＋1),>(0)＝－2×(2n)<n次递降阶乘>

再把刚才用幂级数求得的式子，就是你说没办法继续下去的那个式子拿出来，用n＋1思考。

K<n＋1>＝K<(n＋1),>(0)/(n＋1)<n＋1次递降阶乘>

从这两个式子，可以得到下面的算式。

K<n＋1>＝(－2×(2n)<n次递降阶乘>)/(n＋1)<n＋1次递降阶乘>

这样就得到K<n＋1>了，完全不是死路，你还记得K<n>和C<n>的关系吗？

Cn＝-K<n＋1>/2

之后就是用手计算了。

Cn＝-K<n＋1>/2

＝(2n)<n次递降阶乘>/(n＋1)<n＋1次递降阶乘>

分母可以从(n＋1)<n＋1次递降阶乘>＝(n＋1)×n×(n－1)……1＝(n＋1)×n<n次递降阶乘>这样变形。

＝(2n)<n次递降阶乘>/(n＋1)<n＋1次递降阶乘>

＝(1/(n＋1))×((2n)<n次递降阶乘>/(n)<n次递降阶乘>)

＝(1/(n＋1))×()<2n,n>

就得到了C<n>。

C<n>＝(1/(n＋1))×()<2n,n>

好，这样就告一段落了，得到的是相同的式子，也就是从生成函数的国度回来了。」

米尔迦演算到这里，露出笑容对我说：

「欢迎回来。」（无名之声：接着是想问先吃饭？先洗澡？还是说……）

7．5．6半径为零的圆

「我回来了……应该要说谢谢才对。」我说。

「相当有趣，这是趟快乐的旅行。」她竖起食指。

我看着米尔迦，她这个人真是……虽然有点粗鲁却很善良，总是冷静地表现热情，我果然对米尔迦……

米尔迦稍微眯起眼睛并站起身。

「为了纪念……跳只舞吧。」

我也站了起来。

(什么意思？)

米尔迦率直地向我伸出左手，我伸出的右手像小鸟般轻轻地停在米尔迦纯白的指间。

(好温暖)

我们牵着手往书架前的空地移动。

米尔迦以画图的方式从我的周围慢慢地走过。

一步。

再一步。

混杂着轻快的脚步。

米尔迦像是跳舞般地走着。

放学后的图书室除了我们没有其它人。

只听得见她轻微的脚步声。

「米尔迦总是与我保持在相同距离的地方，就像是在圆周上，这单位圆吧？」

我到底在说什么啊。

米尔迦「嗯」了一声停下脚步，「我们两人的手长度加起来是1的话才算是单位圆。」她缓缓回答，然后闭上眼睛。

……就算无法在她的『最近距离』，也希望至少能在她的『最近间隔』……

我想起了曾经想过的事情。

米尔迦张开眼。

「即使半径是零……」话说到一半，米尔迦就用力地将我拉向她。

「即使半径是零……还是会分开吗？」

如此说着的米尔迦将她的脸渐渐靠近，直到与我的眼镜相碰的距雕。

我什么话也说不出来。

而米尔迦也没有再说什么。

即使半径是零，圆就是圆，不过是已经变成点的圆。

然后，我……

我们……

就这样无言地……

缓缓地将脸颊靠近……

「现在是闭校时间。」

瑞谷管理员的声音传来。

我们的距离从零一口气增加。

直到我们手长的和为止。

★★「我」的笔记本

我和米尔迦所导出的一般项数列C<n>＝1，1，2，5，14，……，被称为卡塔兰数(Catalannumber)(无名之声：也称卡特兰数)，而我思考出「漂亮的积的和」被称为折积(Convolution)(无名之声：也称褶积)。

将数列与生成函数对应的话，就能把『将数列折积的数列』和『乘上原本的生成函数而得到的函数』互相对应。也就是将数列a<n>与b<n>的折积以a<n>*b<n>表示的话，会形成以下对应。

数列←→生成函数

a<n>＝a<0>，a<1>，……，a<n>，……←→a(x)＝Σ<k=0到∞,a<k>x<k次方>>

b<n>＝b<0>，b<1>，……，b<n>，……←→b(x)＝Σ<k=0到∞,b<k>x<k次方>>

夜里，我在房间里兴奋地想着这个对应，『数列国度』的「折积」就是『生成函数国度』的「积」。

真是完美的对应。

第8章调和数

巴哈认为各声部之间就像是一群好友在对话。

以三个声部为例，其中一部突然沉默，

是为了在轮到自己再度说话之前，

能倾听别人的话语。

——福克尔『巴哈小传』(角仓一朗译)

8．1寻宝

8．1．1蒂蒂

「学长～～」

放学後，我站在校门口，蒂蒂跑了过来。

「原来在这里啊，在图书室沒看到你，还以为发生了什么事情，假如学长现在在要回去的话，请让我一起……咦？这个是？」

我将手里拿着的卡片交给她，她将视线移到那张卡片上。

※※(我的卡片)

H<∞>＝Σ<k=1到∞,1/k>

蒂蒂是比小我一届、高中一年级的学妹，平常就像小狗一样绕在我的身边，是个有时候会在图书室里一起用功的好伙伴。她很爱说话，虽然不够稳重，不过偶尔也会露出令人赞叹的认真神情，一头短发配上她那双大大的眼睛，我觉得相当可爱。

「这是……什么？」蒂蒂抬起头。

「嗯，研究课题，就是从这个式子出发，然后寻找『有趣的东西』的习题。」

「？」她仍旧一副不解的表情。

「这个式子就像是藏着宝物的森林一样，看你能不能在当中找出宝物，这张卡片是从村木老师那里拿来的。」

「找出宝物是……」蒂蒂再度看了看我的卡片。

「嗯，从这张卡片出发，自己做出问题，然后再将问题解开。」

「原来如此……那学长你已经从这个算式里找到宝物了吗？」

「不，还没。不过看到这张卡片就能知道一点，这个式子是H<∞>定义式，右边的Σ<k=1到∞,1/k>是……」

「啊！啊～～啊～～～！」

蒂蒂突然大叫让我吓了一跳，她红着脸用两手遮住嘴巴。

「……抱、抱歉，学长，请你什么都不要说，可以让我也一起，『寻宝』吗？」

「什么意思？」

「这个研究课题也可以让我想想看吗？因为我到现在为止都没有试过，想要试一次看看，我想努力将『宝物』挖掘出来。」

说话的蒂蒂摆出拿着铁锹挖洞的样子。

「当然可以，假如找到什么有趣的东西，就写个报告给村木老师吧。」

「咦？不用到这种程度吧。」

她连忙摇头，蒂蒂还是一样有朝气。

「那张卡片先给你，明天会在图书室讨论，所以你就想想看吧。」

「好！我会加油的。」

蒂蒂双眼发亮并将双拳紧握。

「学长……学长对我……」

蒂蒂的声音突然停止了，她注视着我的背后，接着小声地「唉呀」一声。

我回过头看到米尔迦站在那里。

8．1．2米尔迦

「久等了。」米尔迦向我微笑。

我在校门前被两个女孩夹在中间。

米尔迦是跟我同班、高中二年级的学生，也是个与长发和眼镜相当相配的美丽女孩，而且数学很好，虽然她常常随便写我的笔记本、突然开始教我数学、做出一些不管别人想法的事情……

蒂蒂突然慌张了起来，「学长是在等人啊……我、我好像打扰了。那个……我先告辞了。」她点了一下头，跟着退后半步。

「嗯……」

米尔迦慢慢地看向蒂蒂，再看向我，又看看蒂蒂，然后她眯起眼睛微笑，并用和缓的语气说：

「没关系，蒂德菈，我一个人回去就好了。」

米尔迦伸出右手温柔地拍拍蒂蒂的头，接着从我和蒂蒂之间走过。

蒂蒂在被拍的时候微微缩着头，并眨了眨大大的眼睛，她只能看着米尔迦潇洒地离去。

远去的米尔迦没有回头，只有像要回答目送她离去的蒂蒂一样举起了右手挥了挥，最后……她消失在转角。

在她做这一连串动作的时候，我忍耐着不发出声音，因为米尔迦走过的时候踩了我的脚。

而且是非常用力地。

……好痛。

8．2对话存在于所有的图书室

隔天，放学后的图书室人并不多。

「如何？」我问。

蒂蒂露出好像要哭出来一样的表情打开笔记本，上面只写上一行算式。

Σ<k=1到∞,1/k>＝(1/1)＋(1/2)＋(1/3)……

「学长……我的数学果然不行。」

「不，你有抓到这个式子表达的意思了，这个式子没错。」

「学长，虽然我很想找到有趣的东西……可是我完全不知道之后要做什么才好。」

「像这种无限的连续式子虽然好像可以感觉到什么，但是要实际出来却很困难。蒂蒂的挑战精神很值得赞赏，从现在开始我们就一起寻宝。」

「咦？啊，不好意思。耽误你宝贵的时间。」

「没关系，我们就慢慢前进吧。」

8．2．1部分和与无穷级数

「先看问题的式子Σ<k=1到∞,1/k>，这个式子难懂的部分是∞（无穷大）的地方吧。」

「呃……无限大的数是……」

「∞（无穷大）并不是『数』，至少通常不被当成数处理，例如实数就不包含∞。」

「啊，是这样吗？」

「是的，写作Σ<k=1到∞,1/k>的时候，就要理解成『k从1累进到∞，将所有1/k累加』，不过若是说成∞好像是某个地方的一个数，然后k会慢慢地前进过去，这种说法是不正确的，无穷级数Σ<k=1到∞,1/k>是以部分和Σ<k=1到∞,1/k>的极限定义出来的。」

Σ<k=1到∞,1/k>＝lim<n→∞,Σ<k=1到n,1/k>>

「那个lim是……」

「limit就是极限，由于数学上的定义很长，在这里我只简单地说明，假定有数列a<0>，a<1>，a<2>，……a<n>就是表示n在非常大的时候，『a<n>的值会变得如何』的式子。在n非常大的时候，a<n>可能会『无止境变大』，也许会『有时变大有时变小』，甚至可能『接近一定的值』，而这个式子在接近一定的值时a<n>会被定义，总而言之，就是表示a<n>的『目标地点』，而会到达某个目标地点的极限则称此极限收敛。」

「嗯……好难，不过到n在非～～常大的时候，会怎么样的部分我还听得懂……」

「嗯，太难了啊……算了，就是很难用一般的用语表现，所以才用算式写出来，首先对『到达的目标地点是被定义出来的』这件事情有个印象就好，既然是被定义出来的，就不一定能靠直觉理解。不必马上就去求无穷级数的值，从部分和开始思考n→∞的极限才是正确的方法。」

「不、不好意思。对于无穷级数以及部分和的差别，我还是不太清楚……」

「这个是无穷级数，也可以说只是级数。」

Σ<k=1到∞,1/k>(使用k的式子)

「这是部分和。」

lim<n→∞,Σ<k=1到n,1/k>>(使用n的式子)

「如何，了解差别了吗？」

「嗯，∞和n是不一样的……不过，因为n是变量，所以和∞不是一样的吗？」

「不对，完全不一样，确实n代表变量，不过是表示有限的数，而∞不是数，所以不能用n代入，就是因为n是有限的数，所以Σ<k=到n,>上才会是有限个项相加，也就是一定能得到计算结果，但是像这样Σ<k=到∞,>无限个项相加，就不一定会得到计算结果。如果是刚刚有稍微提过的『无止境地变大』或『有时变大有时变小』的状况，目标地点就会不固定，而不固定的值就不能以数看待，另外，若目标地点不固定，则称这个极限发散。当讨论无限个项时，这是一个要非常注意的地方。」

「好的……我已经知道要注意无限了，也知道了发散……所以跟无限有关的话，就算解出算式也不一定是固定的值啊……」

「再来是标记上要注意的地方。下面两个式子都会用到这个删节号『……』，标记无穷级数用是(1)还是(2)呢？」

(1/1)＋(1/2)＋(1/3)…………＋(1/n)(1)

(1/1)＋(1/2)＋(1/3)……(2)

「表示无穷级数的……应该是(2)吧。」

「没错，(1)的(1/1)＋(1/2)＋(1/3)……＋(1/n)的『……』并不是表示无穷级数，只是因为写不下所以不写，在这里的项是有限的，而值是固定的并不恐怖，但是(2)的(1/1)＋(1/2)＋(1/3)……的『……』表现的就是无穷级数，这里面藏着lim，如同在说『或许值会不固定』，有限的『……』和无穷级数的『……』意思完全不一样，所以需要特别注意。」

「看起来一样的『……』，有着不一样的意思呢。」

8．2．2从理所当然的地方开始

「喔，又谈到无限的话题了，在开始计算无穷级数前必须先习惯无限个项的和才行。为了要习惯Σ。就先将n为1，2，3，4，5的式子具体地列出来。」

Σ<k=1到1,1/k>＝1/1

Σ<k=1到2,1/k>＝(1/1)＋(1/2)

Σ<k=1到3,1/k>＝(1/1)＋(1/2)＋(1/3)

Σ<k=1到4,1/k>＝(1/1)＋(1/2)＋(1/3)＋(1/4)

Σ<k=1到5,1/k>＝(1/1)＋(1/2)＋(1/3)＋(1/4)＋(1/5)

「那现在开始计算部分和吧，首先要注意Σ<k=1到n,1/k>的值是『由n决定』的。所以即使写做H<n>也是可以的，这是H<n>的定义式。」

H<n>＝Σ<k=1到n,1/k>(H<n>的定义式)

「不、不好意思请稍等一下，『由n决定』这边我不太懂。」

「嗯，像这样会将自己不懂的地方提出来正是蒂蒂的优点，不管是5或是1000，只要n的值是具体固定的，Σ<k=1到n,1/k>这个式子的值就是固定的，这就是『由n决定』的意思，所以可以写出以n为标记的H<n>。这样的话，H<5>就和H<1000>一样，只是命名上的问题。」

「为什么用H呢？」

「因为卡片上写作H<∞>，所以部分和就用H<n>。」

「啊，原来如此，话说回来……写为H<n>，虽然n留下来了，但是k为什么却消失了？」

「因为Σ<k=1到n,1/k>中的k是只在Σ中使用的变量，不会用在其它的地方，像k这种变量称为约束变数，意思就是在Σ中被约束的变量，也不一定非使用k不可，可以填入自己喜欢的文字，像i，j，k，l，m，n这些都常常使用。啊，不过由于i是表示<根号>的虚数单位，所以会造成混乱的时候就不要用，另外平常会用n当约束变量，但是这里不行，因为n已经有其它的意思了，把Σ<k=1到n,1/k>写成Σ<k=1到n,1/n>的话，意思就会变得很奇怪。」

「好的，我知道了。不好意思打断学长的说明。」

「不，没关系。不知道的地方还是问清楚比较容易进行下去。」

我们相视而笑。

8．2．3命题

「那来列举与H<n>＝Σ<k=1到n,1/k>有关的部分，因为『举例是理解的试金石』，下面的叙述正确吗？」

n＝1的话，H<n>＝1。

「是正确的。因为H<1>＝1，这是当然的……啊，原来如此，『从理所当然的地方开始』，对吧？」

「没错，你记住了，那下面的叙述成立吗？」

对所有的正整数n，H<n>＞0。

「会成立。」

「像这样判断是否会成立的数学主张称为命题，命题可以用国语或英语，甚至是算式来写……那，下面的命题会成立吗？」

对所有的正整数n，当n变大时，H<n>必然变大。

「这个……是的，没错，n变大就代表会有更多的数相加。」

「是的，正数相加就会变大，『当n变大时，H<n>必然变大』这个命题，也可以用算式写成下面的式子，这种方式会比较严密。」

对所有的正整数n，H<n>＜H<n＋1>。

「确实，这个……命题会成立，不过……比起『当n变大时，H<n>必然变大』，『H<n>＜H<n＋1>』会比较严密啊……嗯……」

我静静地等待蒂蒂的思考。

「啊，我知道了。『变大』这个动作和使用不等号的『大于』在叙述的表现上是不同的吧，就像英语的一般动词和be动词一样？」

「咦……？」

蒂蒂的话带给我一些冲击，『变大』和『大』的差别？一般动词和be动词？……原来如此，或许是这样吧，之前村木老师好像有稍微提过，追寻数列变化形态的观点与捕捉数列各项关系式的观点……是『过程的定义与叙述的定义』的话题……

「学长……怎么了吗？」

「不，你说了以后我才想到也有这种看法，不过我只是要表达『比起一般生活用语，用算式表达会比较严密』而已，话说回来，蒂蒂你到底是……？」

「什么？」蒂蒂歪着头，眼睛骨碌碌地转着。

「没事……继续往前进吧，下一个命题会成立吗？」

对所有的正整数n，H<n＋1>－H<n>＝1/n。(？)

「会成立，因为H<n>是以分数的和来定义的，所以用减法会出现分数也是当然的。」

「很可惜答错了，H<n＋1>－H<n>＝1/n不会成立，右边的分母是错的，要像下面的式子，分母不是n而是n＋1才会成立。」

对所有的正整数n，H<n＋1>－H<n>＝1/(n＋1)。

「咦～～啊？原来如此，学长，出陷阱题太过分了。」蒂蒂开始对我抱怨。

「抱歉抱歉，不过还是要好好地确认过才行。」

「是这么说没错……」她不满地嘟起嘴。

「那么H<n＋1>－H<n>到底会变成怎么样呢？能使用H<n>的定义式计算吗？你动笔试试看。」

「好的，嗯……」

H<n＋1>－H<n>＝Σ<k=1到n＋1,1/k>－Σ<k=1到n,1/k>

这是Hn的定义式，再来把Σ具体地写出来。

＝(1/1)＋(1/2)＋…＋(1/n)＋(1/(n＋1))－(1/1)＋(1/2)＋…＋(1/n)

好，完成了。然后……嗯……把项的顺序改变。

＝((1/1)－(1/1))＋((1/2)－(1/2))＋…＋((1/n)－(1/n))＋(1/(n＋1))

这样就可以了吧，学长？

＝1/(n＋1)

「好，做得很好，那这次由蒂蒂命题看看。」

「嗯……那因为出现了H<n＋1>－H<n>……所以这个命题可以吗？」

对所有的正整数n，当n增大时，H<n＋1>－H<n>会变小。

「没错没错，很好，算式的话要怎么写呢？」

「这样吗？」

对所有的正整数n，H<n＋1>－H<n>＞H<n＋2>－H<n＋1>。

「就是这样，非常好！」

「加上去的数，像1/2，1/3，1/4，……这种『变小』的感觉就用『小』的算式表现。」

8．2．4全部的……

「蒂蒂，像这样把一切都用算式表示是很重要的，就算是一些理所当然的事也不要紧，尽量写写看，这是一个练习使用数学语言的方法。」

「好，我想起学长之前曾经对我说过『玩数学就像在捏黏土』，我捏我捏……」蒂蒂一边说一边做出捏黏土的动作。「啊，不过『对所有的正整数n』……这个不算是式子吧。」

「嗯，要说明正整数N的集合，就用这个算式。」

n∈NH<n＋1>－H<n>＞H<n＋2>－H<n＋1>

「这个算式要怎么念啊？」

「<ForAll>n∈N……就念成『ForallninN……』，用说的就是『对所有正整数n』……或是『对任意整数n』吧，<ForAll>是All的A倒过来写。

「这个好像跟一般的N不太一样？」

「是的，写N的话会被当成是一般的数。但是写成N就能很清楚地知道『这不是数，而是集合』。」

「那这个∈呢？」

「这是用来表现元素∈集合的形式，是要表示『集合中的元素』的意思，写成<ForAll>n∈N的话，就是代表『在这个集合中，无论选出哪一个元素n……』的意思。」

「意思就是不管选出哪个都可以吧……学长，这样学数学就像在写作文一样，不过不是英文作文而是数学作文。」蒂蒂笑着说。

「数学作文……数学确实也有这样的一面，大部分的算式都会经过压缩后再以简洁的方式表现，所以想要搞清楚这个算式到底在写什么的时候，还是慢慢来比较好。」

「那算式就像浓缩果汁一样啰？一口气喝下去的话会有危险吗？」

「……好了，我们将算式具体地写出来。」我说。

H<1>＝1/1

H<2>＝(1/1)＋(1/2)

H<3>＝(1/1)＋(1/2)＋(1/3)

H<4>＝(1/1)＋(1/2)＋(1/3)＋(1/4)

H<5>＝(1/1)＋(1/2)＋(1/3)＋(1/4)＋(1/5)

「按照顺序从上往下看的时候，要注意增加的部分，也就是Hn＋1－Hn唷。」

H<2>－H<1>＝1/2

H<3>－H<2>＝1/3

H<4>－H<3>＝1/4

H<5>－H<4>＝1/5

H<6>－H<5>＝1/6

「像这样H<n＋1>－H<n>的值就会渐渐变小，就跟刚才蒂蒂你说的一样。」

「是的。」

「H<1>，H<2>，H<3>，H<4>，H<5>，……虽然本身越变越大，但是『变大的量』，也就是『增加量』却逐渐减少。每个数字之间增加也越来越少，这样的话……」

「啊，请等一下，这个『增加得越来越少』的部分，我想可以用我刚刚写的算式表现，嗯……就像这样。」

对所有的正整数n，H<n＋1>－H<n>＞H<n＋2>－H<n＋1>。

「没错，就是这样，虽然增加得越来越少这种说法很暧昧，但算式写出来就很清楚了，也会变得比较容易理解，虽然有很多人觉得算式既复杂又难以理解，不过很多状况不写算式反而会更加难懂。算式是一种语言，只要使用得当，就能帮助自己理解，或是成为传达讯息的有用工具。」

「好的，我看看。将目前的命题用算式写出来的话……这样写可以吗？」

<ForAll>n∈NH<n＋1>－H<n>＞H<n＋2>－H<n＋1>

「嗯，不错，就是这样。」我说。

蒂蒂似乎很高兴。

8．2．5……是存在的

「那么，差不多要看见最初的宝物啰。」

「咦？」

「到目前为止定义了H<n>＝Σ<k=1到n,1/k>，n变大的话，H<n>也会随着变大，不过增加量会越来越少，如此一来，在n变大时，H<n>也会不断地变大吗？还是说，即使n不断地增大，H<n>也不会大到超过某个数呢？」我提出质疑。

「也就是下面的式子会不断地变大，最后出现瓶颈吧？」蒂蒂将自己的头托在手上说。

(1/1)＋(1/2)＋(1/3)＋(1/4)＋(1/5)＋……

「没错，这就是从那张卡片上自然而然会发展出来的问题，要调查这个题目是发散还是收敛，用算式写写看。」

※※问题8－1

令实数集合为R，正整数集合为N，则下列式子是否成立。

<ForAll>M∈Rヨn∈NM＜Σ<k=1到n,1/k>

「ヨ？」

「ヨ不是日文片假名的yo，而是将Exists的E反过来写的记号。」

「『存在』吗？也就是说『ForallMinR,nexistsinN……』。」

「蒂蒂的发音很漂亮，可以用『nexists』，或者用『thereexistsn』也没关系，再用suchthat补充的话就更容易明白了。」

ForallMinR,thereexistsninNsuchthatM＜Σ<k=1到n,1/k>。

「学长，用讲的要怎么说呢？」

「硬要说的话就会像这句话。」

对任意的实数M，有一个正整数n存在，使M＜Σ<k=1到n,1/k>成立。（JoyJ：我们一般说“存在n”就够了==）

「虽然很啰嗦……不过勉强能懂。」蒂蒂回答。

「下面的(a)和(b)两个式子，你能知道它们哪里不一样吗？」我在笔记本上写上两行算式。

<ForAll>M∈Rヨn∈NM＜Σ<k=1到n,1/k>(a)

ヨn∈N<ForAll>M∈RM＜Σ<k=1到n,1/k>(b)

「稍微有点长，所以为了让意思清楚一点，就加上括号吧。」我加上括号并对蒂蒂说明。

<ForAll>M∈R{ヨn∈N[M＜Σ<k=1到n,1/k>]}(a)

ヨn∈N[<ForAll>M∈R{M＜Σ<k=1到n,1/k>}](b)

([]内为M的约束范围,{}内为N的约束范围)

「用英语写的话……」我继续写上英文。

ForallMinR,thereexistsninNsuchthatM＜Σ<k=1到n,1/k>(a)

ThereexistsninN,suchthatforallMinRM＜Σ<k=1到n,1/k>(b)

蒂蒂将英文念了几次，陷入沉思。

「……我觉得我应该懂，顺序很重要吧？(a)这边是先决定M然后找n，在找n的时候M不会变，但是(b)这边是先决定n，然后对n寻找所有M……这样吗？」

「是的，意思对了。(a)这边是一开始选出M，然后用M去找n，认为可以在对全部的M中找到n，依照选择的M，n不同也没关系，但是(b)这边是先找到n，无论这个n是什么数，都会对全部的实数M成立这个不等式，在(b)的情形下，选择M的时候n不会变。这次的问题8－1说的是(a)，这没问题吧？」

「……勉强没有。」蒂蒂说。

「要用语言来表现(a)与(b)的差异是非常困难的，但是仔细地看的话，用算式就可以很清楚地表现。」

「的确要用语言区分很困难。话说回来，这个不等式的出现的M是什么啊？」

「你觉得是什么呢，蒂蒂？」。

「嗯，很、很大的数？」

「大概就是这种感觉吧，比起表现『会一直变大』，用任意实数M来表现『比M还大』会更清楚，无论M设多大，只要有像问题8－1那样对M存在的n，就可以说会一直变大下去，若是对其中任何一个M都不存相对的n，就不能说会一直变大下去。」

「原来如此……虽然好像绕了好大一圈，不过我终于将意思弄明白了……呼。」（JoyJ：为什么我反倒越来越晕了==）

「嗯？累了吗？」

「不会不会一有一点点累而已。不过多亏学长的说明，让我的『数学作文的语汇』增加不少。」

「真是辛苦你了，蒂蒂，今天就到这里为止吧，差不多管理员瑞谷老师也要出现了，就等明天放学后再打开这个宝箱吧。」

「好！学长……我……非常高兴喔！」

「没错，数学很有趣吧？用算式这个新语言，就不会让思绪变得暧昧喔……」

「我是说，能和学长一起……呃，嗯，是的，没错，明天也要拜托学长了！」

(无名之声：我相信对高中生来说，有趣的不会是ε－Ｎ语言，有趣的只是暧昧的对象而已。)

8．3附有无止境上升螺旋阶梯的音乐教室

隔天，午休的音乐教室中。

经过的学生们都被钢琴声吸引而停下脚步观看。

两位美少女正在平台钢琴前连手弹奏。

其中一位是才女米尔迦，另外一位是喜欢钢琴琴键的少女英英，她是钢琴社团『极强音』的社长，也是高中二年级的学生，虽然和我跟米尔迦是同学年，不过不同班。

米尔迦与英英弹着以上升音阶为基调的变奏曲，两个人配合呼吸、弹着相似的旋律，在不断反复的同时，音阶也逐渐上升，咦？仿佛快要超越钢琴的音域了……不，这不可能，拉回注意力的时候，不知何时音阶又降下来了，到底是什么时候降的？这真是非常不可思议的感觉……就像是爬上永无止境的楼梯一样，这种令人焦急的感觉有如拥有能一口气冲上天的巨大翅膀，却在螺旋阶梯上一步一步地往上爬，无限上升的无限音阶、永远持续变奏的音乐，她们竟然能用钢琴弹出这种曲子，着实让我惊讶。

从我的位置可以看见米尔迦快速移动的手指(就是那温暖的手指)，嗯，确实能看见手又回到左边的低音部，不过我的耳里却只见不断上升的音乐。

曲子在最后慢慢地转向渐弱，然后淡出，在残响消逝的那一刻，在场的人爆出叫好声与拍手声，米尔迦与英英站起来行了个礼。

「有趣吗？」米尔迦问我。

「真不可思议，明明只是有限的琴键，却好像有无限的曲调。」我说出感想。

「就像向正无限大发散一样有趣，明明有限却发散这点很矛盾。」米尔迦露出开玩笑似的微笑。

「似乎有用不同的八度音吧。」

「没错，让不同音程的八度音同时平行上升，然后音越高音量就越小，在高音消逝的同时以小音量混入低音，在中音域表现最大的音，这样就能瞒过人的耳朵产生无限上升的感觉，一个人弹的话会有表演的极限，所以要两个人。」

「不能把秘密说出来啊！」英英靠了过来并说：「要做出这曲子真的很难，因为只有单纯的音阶就不有趣了，所以要用快节奏让听众不会听腻，还要不能太过单调，得让人有不可思议的感觉，幸好米尔迦的手指很灵敏，真是帮了我大忙。」

「对了，我希望下次是梅比乌斯环形状的协调曲。」米尔迦笑着建议。

「那是什么曲子啊！……算了，下次再一起弹吧。」英英一边苦笑，一边走向自己的教室。

米尔迦则是绕起食指哼歌，和我一起往教室走去。

看来她的心情非常好。

8．4不愉快的ζ

在午休的后半段，米尔迦啃着当成午餐的巧克力在我前面坐下。

「你看过村木老师的这张卡片了吗？」说完话的她把卡片放下。

※※(米尔迦的卡片)

ζ(1)

(咦？和我的不一样。)

米尔迦不等我的回答就继续说下去。

「要我研究ζ(1)，不过ζ(1)是向正无限大发散的这件事已经很有名了，证明很快就可以完成。不过正因为这样，我才想要用不同方式试试看，我的想法是先……」

我呆然地听着米尔迦飞快的说明，脑中想着「原来老师这次给我和她的是不同的卡片啊」，印象中有听过ζ函数，应该是目前最尖端的数学领域，原来如此，这是配合才女米尔迦实力的困难问题。

……话说回来，不晓得蒂蒂解出昨天的问题了吗？蒂蒂，那跳跳的女孩到底该怎么形容她呢，虽然觉得她并不是很擅长数学，不过她的行动与叙述……具有相当敏锐的洞察力，不过本人似乎没有意识到这一点。

一开始我是以教导学妹的态度与蒂蒂对话的，不过最近有点在与她解答问题的同时，会有种需要重新整理思考的感觉。我说明，而蒂蒂接受，这样的行为不断地累积，就像一阶一阶地爬上楼梯，接着换蒂蒂说明，我接受，哈哈……就像递推公式一样慢慢地、慢慢地产生变化，然后一个一个确认……而且，我被蒂蒂那双大眼睛一直凝视着的时候，就会……

「喂。」米尔迦叫我。

面无表情的米尔迦盯着我。

糟了，我完全没在听她说话，这真是太糟糕了。

上课的铃声响了。

米尔迦无言地起身，看都不看我一眼就走回自己的座位。

看来她的心情非常糟。

8．5无限大的过分评价

由于今天是图书室整理内部的日子，所以不能使用图书室，我和蒂蒂就在别馆的大厅『学仓』角落找了个位置进行计算。

「不好意思。」

蒂蒂慎重地行礼后在我的身旁坐下，她稍微迟到了一下子，从她的身上飘来特有的香味，而耳边传来的是练习中的长笛二重奏。

我静静地开始写下昨天问题解答的算式。

※※问题8－1

令实数集合为R，正整数集合为N，则下列式子是否成立。

M∈Rヨn∈NM＜Σ<k=1到n,1/k>

蒂蒂在旁边看着。

H<8>＝Σ<k=1到8,1/k>

＝(1/1)＋(1/2)＋(1/3)＋(1/4)＋(1/5)＋(1/6)＋(1/7)＋(1/8)

＝(1/1)＋((1/2))＋((1/3)＋(1/4))＋((1/5)＋(1/6)＋(1/7)＋(1/8))——分为1个，2个，4个一组

≥(1/1)＋((1/2))＋((1/4)＋(1/4))＋((1/8)＋(1/8)＋(1/8)＋(1/8))

＝(1/1)＋((1/2)×1)＋((1/4)×2)＋((1/8)×4)

＝(1/1)＋(1/2)＋(1/2)＋(1/2)

＝1＋3/2

「在这里稍微休息，虽然中间变成了不等式，你应该能理解吧？为了方便广义化，这里就不计算到最后，而只到1＋3/2为止。虽然现在只看H<8>，不过H<1>，H<2>，H<4>，H<8>，H<16>，……都是用一样的方法，最后会变成这样。」

H<1>≥1＋0/2

H<2>≥1＋1/2

H<4>≥1＋2/2

H<8>≥1＋3/2

H<16>≥1＋4/2

「要将这式子广义化不难，令m为0以上的正数，则下式成立。」

H<2<m次方>>≥1＋m/2

「不过这是不等式吧，不是等式的话，不就不能求H<2<m次方>>的值吗？」

「现在的目的并不是要求H<2<m次方>>的正确值，而是要看出H<2<m次方>>到底能大到什么程度。你想想看，依照上面的式子，m值很大的话会发生什么事情？」

「……啊，我知道我知道！会一直变大！m变大的话，1＋m/2就会一直变大下去。所以……嗯！用不等号来想的话，只要m变大，H<2<m次方>>要大到什么程度都没问题！」

「先冷静下来从头开始好好地看，定义M的时候，是为了让某一个n使得M＜Σ<k=1到n,1/k>成立。」

「好的，我懂了，无论对多大的M，只要m够大的话就能像……

M＜1＋m/2

一样找到m，这里只要将m设为2M以上的整数，找到m之后，就令n＝2<m次方>，也就是用m做出n，而这个n就是我们要求的n吧？」

M＜1＋m/2≤H<2<m次方>>＝H<n>＝Σ<k=1到n,1/k>

「没错，所以昨天的问题8－1的解答就是……」

※※解答8－1

令实数集合为R，正整数集合为N，则下式成立。

<ForAll>M∈Rヨn∈NM＜Σ<k=1到n,1/k>

「原来是这样，不等式真方便，虽然不能求出正确的值，却可以从小的地方向上推……」蒂蒂一边说一边做出排球托球的姿势。

「这样就找到一样宝物了，Σ<k=1到n,1/k>会一直变大下去。」

「学长，真不可思议，用1＋m/2这个会变大的数，就可以将H<2<m次方>>推上去，而为了要推挤则用上了不等式，到这里还好……明明越变越小的数1/k，相加成Σ<k=1到n,1/k>竟然可以一直变大下去，真的很不可思议。」蒂蒂不断地点头。

「嗯，那就试试看将『一直变大下去』这种说法用算式表现，在这里为了简化，就限定数列里全部的项比0大。」我边说边在笔记本上书写。

「对部分和Σ<k=1到n,a<k>>有一任意项都比0大的数列a<k>＞0(k＝1，2，3，……)使得……

<ForAll>M∈Rヨn∈NM＜Σ<k=1到n,a<k>>

成立时，因为n→∞，所以称Σ<k=1到n,a<k>>为向正无限大发散，这是定义，然后以……

Σ<k=1到∞,a<k>>＝∞

表现出来，a<k>＝1/k的状况就是问题8－1，因为现在定义了『向正无限大发散』，所以可以得到下面的结论。」

『无穷级数Σ<k=1到∞,1/k>是向正无限大发散。』

蒂蒂一直盯着我的笔记本，认真地思考。

「无论是什么正数，只要一直加上去，就会不断地变大下去啊……果然这就是无限……」

「咦？你刚刚说了奇怪的话喔，那这个问题如何？」

※※问题8－2

令实数集合为R，正整数集合为N，且<ForAll>k∈Na<k>＞0，下式是否必然成立？

<ForAll>M∈Rヨn∈NM＜Σ<k=1到n,a<k>>

「我觉得问题8－2会成立。因为……将a<k>这个正数一直不断地累加下去的话……也就是n变大……和也会跟着变大。所以，总会加到Σ<k=1到n,a<k>>比M大的时候。」

「嗯，虽然我了解你的想法，不过蒂蒂，虽然这么说有点奇怪，可是你对无限大有过大的评价喔。」

「咦？有不管正数再怎么加，也不会比M还大的状况吗？」

当然。举例来说，假如数列a<k>的一般项是以下的式子的话会如何？」

a<k>＝1/2<k次方>

「咦？」

「在这个状况里，对全部的正整数k，a<k>＞0会成立，但是Σ<k=1到n,a<k>>却不会无止尽地变大，因为……」

Σ<k=1到n,a<k>>＝Σ<k=1到n,1/2<k次方>>

这里就按照an的定义，将Σ具体地写出来。

＝1/2<1次方>＋1/2<平方>＋……＋1/2<n次方>

接下来为了方便计算，加入1/2<0次方>之后再减掉。

＝(1/2<0次方>＋1/2<1次方>＋1/2<平方>＋……＋1/2<n次方>)－1/2<0次方>

这样就能用等比数列的求和公式了。

＝(1－1/2<n＋1次方>)/(1－1/2)－1

除去分子－1/2<n＋1次方>的这一项，就可以做出不等式。

＜1/(1－1/2)－1

之后就是计算。

＝2(？)

「那个……不好意思……最后的计算1/(1－1/2)－1的结果不是2吧？」

「咦？……啊，真的，最后的计算结果应该是1，结论是下面会成立。」

Σ<k=1到n,1/2<k次方>>＜1

「也就是说无论＝中的n有多大，结果都不会在1以上。无论加了多少，由于去会极度地接近0，所以和没办法累加到1以上，虽然当M＜1时n会存在，但M≥1的话n就不存在了，所以用ak＝为反例，问题8－2的答案会是这样。」

※※解答8－2

令实数集合为R，正整数集合为N，且<ForAll>k∈Na<k>＞0，下式并非必然成立。

<ForAll>M∈Rヨn∈NM＜Σ<k=1到n,a<k>>

「原来如此，当n变大的时候，会有部分和不断增大与并非如此的两种状况……不过，学长也会计算错误啊。」

「当然也会有算错的时候，虽然对刚才的证明没什么影响……」

就在这一瞬间，蒂蒂学着我的口吻说：

「不过还是要好好地确认过……对吧，学长？」

经过瞬间的沉默，我们看着彼此笑了出来。

8．6于教室演练调和数

在放学后的教室，我叫住不发一语、准备回去的米尔迦。

「米尔迦，之前发呆没好好听你说话是我不对。那个……关于昨天的事，我对ζ函数其实不太清楚，就是关于ζ(1)是向正无限大发散的话题……」

「嗯……」

看来是很难对话了。

不过最后米尔迦终于拿起粉笔，开始在黑板上写下：

「这是黎曼函数ζ(s)的定义，黎曼的ZETA函数。」

ζ(s)＝Σ<k=1到∞,1/k<s次方>>(黎曼函数的定义式)

米尔迦继续写下去。

「ζ(s)被以无穷级数的型式定义，这里的s＝1就是调和级数，用的是HarmonicSeries第一个字母H，写做H<∞>。」

H<∞>＝Σ<k=1到∞,1/k>(调和级数的定义式)

「也就是说，黎曼函数中s＝1的式子就等于调和级数？」

「是这样啊……那我和蒂……我想到的无穷级数与ζ(1)就是一样的。」

村木老师出给我和米尔迦的是相同的问题吗？原来H是Harmonic的第一个字母。

无视我说的话，米尔迦继续说下去。

「下面的部分和Hn称为调和数。」

H<n>＝Σ<k=1到n,1/k>(调和数的定义式)

「也就是当n→∞，调和数H<n>→调和级数H<∞>。」

教室里回荡着米尔迦用粉笔写黑板的声音。

H<∞>＝lim<n→∞,H<n>>(调和级数与调和数的关系)

「因为调和数H<n>是n→∞，所以向正无限大发散。」

lim<n→∞,H<n>>＝∞

「因此调和级数也是向正无限大发散。」

H<∞>＝∞

「也就是说ζ(1)是向正无限大发散。」

ζ(1)＝∞

「为什么能说『调和级数是向正无限大发散』……」

到这里米尔迦终于向我笑了一下，她已经回复到平常的模式了。

我在呆然的状态下向她说明我写给蒂蒂的式子，是以m为0以上的整数，利用H<2<m次方>>≥1＋m/2成立的证明。

「没错，你的证明和14世纪奥雷姆用的是相同的方法。」米尔迦说到。

※※黎曼函数、调和极数、调和数

ζ(s)＝Σ<k=1到∞,1/k<s次方>>(黎曼函数的定义式)

＝H<∞>＝Σ<k=1到∞,1/k>(调和级数的定义式)

＝H<n>＝Σ<k=1到n,1/k>(调和数的定义式)

米尔迦这时闭上眼睛，仿佛指挥般用手指划了一个L型，然后张开眼说：

「你还记得在离散的世界找出指数函数的事吗？」

「嗯，还记得。」印象中是做出差分方程式解开问题的。

「那么这个问题如何？在离散的世界中试着找出『指数函数的反函数』……也就是对数函数。」

※※问题8－3

对应连续世界的对数函数㏒<以e为底，x>，定义离散世界的函数L(x)

连续世界←→离散世界

㏒<以e为底，x>←→L(x)＝？

「那我要回去了，你慢慢想吧。」

米尔迦上将手上的粉笔灰弄掉之后走向教室门口，接着她回头对我说：

「先告诉你一件事。你的缺点就是不画图，数学可不是只有式而已。」

8．7两个世界，四种演算

夜晚。

我在自己的房间里打开笔记本，思考着米尔迦的问题8－3。

是在离散的世界中，找出对应对数函数㏒<以e为底，x>的函数问题。

以前调查指数函数的时候，解决了将De<x次方>＝e<x次方>与ΔE(x)＝E(x)互相对应的问题，成功地将微分方程式与差分方程式彼此对应。

这次就从对应对数函数的微分方程式开始吧。

我曾在书上看过对数函数㏒<以e为底，x>的微分。

f(x)＝㏒<以e为底，x>

↓微分

f’(x)＝1/x

将『微分之后变成1/x』这个性质，当成是满足对数函数的微分方程式思考，由于1/x也可以写作x<－1次方>，所以可以用『微分之后变成x<－1次方>』表现，用米尔迦以前用过的微分算子D来写的话，就变成下列式子。

D㏒<以e为底，x>＝x<－1次方>满足对数函数的微分方程式。

以此类推，在离散世界对应㏒<以e为底，x>的函数L(x)会满足下面的差分方程式，并将平常的－1次方取代为递降阶乘的－1次方。

ΔL(x)＝x<－1次递降阶乘>满足函数L(x)的差分方程式

不过之前和米尔迦讨论的时候，只考虑到递降阶乘x<n次递降阶乘>中n＞0的状况而已。

※※递降阶乘的定义(n为正整数)

x<n次递降阶乘>＝(x－0)(x－1)(x－2)……(x－(n－1))

这样的话，必须适当地考虑在n≤0的状况要如何定义x<n次递降阶乘>。

n＝4，3，2，1的时候，x<n次递降阶乘>会如同下面的式子。

x<4次递降阶乘>＝(x－0)(x－1)(x－2)(x－3)

x<3次递降阶乘>＝(x－0)(x－1)(x－2)

x<2次递降阶乘>＝(x－0)(x－1)

x<1次递降阶乘>＝(x－0)

仔细观察的话，可以知道以下性质。

×x<4次递降阶乘>除以(x－3)的话会得到x<3次递降阶乘>。

×x<3次递降阶乘>除以(x－2)的话会得到x<2次递降阶乘>。

×x<2次递降阶乘>除以(x－1)的话会得到x<1次递降阶乘>。

将这性质自然延伸的话，会变成下面的规则。

×x<1次递降阶乘>除以(x－0)的话会得到x<0次递降阶乘>。

×x<0次递降阶乘>除以(x＋1)的话会得到x<－1次递降阶乘>。

×x<－1次递降阶乘>除以(x＋2)的话会得到x<－2次递降阶乘>。

×x<－2次递降阶乘>除以(x＋3)的话会得到x<－3次递降阶乘>。

然后会变成下面的式子。

x<0次递降阶乘>＝1

x<－1次递降阶乘>＝1/(x＋1)

x<－2次递降阶乘>＝1/((x＋1)(x＋2))

x<－3次递降阶乘>＝1/((x＋1)(x＋2)(x＋3))

※※递降阶乘的定义(n为整数)

x<n次递降阶乘>＝(x－0)(x－1)(x－2)……(x－(n－1))n＞0时

x<n次递降阶乘>＝1n＝0时

x<n次递降阶乘>＝1/((x＋1)(x＋2)(x＋3)……(x＋(－n))n＜0时

接着回到对数函数吧，目标是解出下面的差分方程式。

ΔL(x)＝x<－1次递降阶乘>

左边以Δ的定义变成L(x＋1)－L(x)。

右边以x－1的定义变成1/(x＋1)，所以差分方程式会变成下面的式子。

L(x＋1)－L(x)＝1/(x＋1)L(x)的差分方程式

要是能从这里求出L(x)就好了……咦？

咦？

L(x＋1)－L(x)＝1/(x＋1)不是和蒂蒂之前讲到的式子相同吗？嗯……是这个。

H<n＋1>－H<n>＝1/(n＋1)调和数H<n>的递推公式

L(x)的差分方程式和调和数H<n>的递推公式居然完全一样！既然这样，就定义L(1)＝1吧，可以得到下面这种简洁的关系式。

L(x)＝Σ<k=1到x,1/k>

使用调和数的标记法H<n>，就会变成下面的模式。

L(x)＝H<x>x为正整数

这样就解决问题8－3了。

解答8－3

L(x)＝Σ<k=1到x,1/k>

＝H<x>

然后可以做出下面这样的对应关系。

※※对数函数与调和数的关系

连续世界←→离散世界

㏒<以e为底，x>←→H<x>＝Σ<k=1到x,1/k>

不过对于对数函数和调和数有什么密切的关联，还是没什么感觉。

等一下，在讨论『微分和差分」的时候，米尔迦在最后有稍微提到关于『积分与和分』的事情，名为『连续世界』和『离散世界』的两个世界，还有微分、差分、积分、和分这四种演算吗……好，画图整理一下。

※※两个世界，四种运算

『连续世界』『离散世界』

微分D←对应→差分Δ

↑↑

逆运算逆运算

↓↓

积分∫←对应→和分∑

嗯，漂亮地整合起来了，调和数字于图中的「和分Σ」，也就是说要回到左下的连续世界……啊，对了！㏒<以e为底，x>微分的话会变成1/x，也就是说将1/x积分的话就会变成㏒<以e为底，x>，好厉害，积分的倒数与和分的倒数完全对应了，因为写成㏒<以e为底，x>所以看不出来，要是写成∫<x,1>(1/t)的话就好了。

这样就能继续下去了。

※※对数函数与调和数的关系

连续世界←→离散世界

㏒<以e为底，x>＝∫<x,1>(1/t)←→H<x>＝Σ<k=1到x,1/k>

连续世界的积分用dt写会不会比较好？那离散世界……就需要δk了，啊，假定δk＝1的话就能顺利对应。

∫<x,1>(1/t)dt←→Hx＝Σ<k=1到x,1/k>δk

越来越顺了，演算真是能带给我喻快的心情。

『你的缺点就是不画图。』

呜……被米尔迦这么直接说还真痛啊，比脚被踩痛多了。

好，那就照米尔迦说的来画图，将积分与和分表示的面积画出来。

[插图：作只有正坐标轴的平面直角坐标系，画出y＝1/x的图像。描出(1,1)点，投影到坐标轴上。之后，在其右侧任取一点(x，1/x)，投影到x轴上。此时(1,0)、(1,1)、(x,0)、(x，1/x)四点以坐标轴与图像为边界围成的不规则图形的面积㏒<以e为底，x>＝∫<x,1>(1/t)]

[插图：作只有正坐标轴的平面直角坐标系，画出y＝1/x的图像。描出(1,0)、(2,0)、(1,1)、(2,1)点围成一个矩形，描出(2,0)、(3,0)、(2,1/2)、(3,1/2)围成一个矩形……描出(n,0)、(n＋1,0)、(n,1/n)、(n＋1,1/(n＋1))围成一个矩形，则矩形的面积和H<n>为Σ<k=1到n,1/k>]

(无名之声：弄这插图的阴影还弄得我真纠结)

(JoyJ：理解并描述更纠结==)

喔～～确实画图之后，『连续世界』与『离散世界』的呼应也能用视觉来充分理解了……真令人惊讶。

8．8已知的钥匙，未知的门

「……所以得到『连续世界的对数函数』和『离散世界的调和数』是互相对应的。」

一如往常在回家的路上，我和蒂蒂并肩走向车站，我简单地说明米尔迦的问题和我的成果。

「仔细想想，只要检讨一下奥雷姆的证明就应该能发现了，你看，在证明是向正无限大发散的时候，1个、2个、4个、8个，每2<m次方>个项就会形成一个群，也就是说集合项的个数会以指数函数的方式增加，接着如果能发现指数函数的反函数——对数函数与调和数之间其实很相似就更好了。」要是在那时画图的话，或许就能立刻解开米尔迦的问题，结果完全如米尔迦指出的问题一样，真是让人心痛。

原本蒂蒂兴味盎然地听自信满满的我说话，却突然停下脚步，还表现出一副垂头丧气的模样。

「……学长，我虽然说出『也想做研究课题』，但是结果完全无法找出『有趣的东西』，全部都是学长告诉我的，我的数学果然还是不行。」

「不，不是这样喔。」我也停下了脚步对她说。

「蒂蒂希望能自己思考吧？这是很重要的，即使这么做却什么也没发现也一样。正因为有努力地思考过了，所以才能立刻听懂我的话，不要忘了这一点。」

蒂蒂认真地听我说。

「你会想要读懂算式到底是什么，这是非常好的一件事，一看到算式就停止思考的人非常多，在思考算式的内容之前就完全不想去碰它。当然，难的算式本来就不容易懂，但是就算完全不懂，也应该要想『到这里为止是我知道的，从这里之后是我不知道的』。当人说出『没办法』的时候就会停止理解、停止思考，接着会找借口说算数学又没有多大用处，结果以后就一定会从『因为没用所以不读』变成『就算有用也读不懂』，学数学时不能有酸葡萄心理，所以愿意挑战的蒂蒂非常伟大。」

「但是……看学长做出问题与解答问题时，我虽然能理解，却没办法做到那种地步，要怎么做才能做到呢？要从哪里开始思考呢？……这让我觉得非常不可思议。」

「有时候，就算是我也并不是真的有什么新发现，而是以过去读过的东西、解过的问题当成基础，上课时的练习问题、自己想的课题、书里写的范例、和朋友讨论的解法……这些都成为我能发现宝物、挖掘宝物的原动力。」

我继续向前走，蒂蒂跟在我的旁边，我继续说：

「解问题时的心态就类似使用不等式来评估算式的大小，不一次都会像等式一样马上得到答案，而是像『从现在知道的条件来判断，答案会比这个大，但是会比那个小……』之类的。使用自己到目前能使用的方法，慢慢地接近答案，并不一定会一下子全盘了解，在知道的地方先钉下楔子，再用铁撬慢慢地移动岩石，也就是用已知的钥匙打开未知的门。」

蒂蒂的眼中发出光芒。

「蒂蒂，学习时在自己心中多累积『原来如此』的感觉吧，不是自己想到的也无所谓，藉由阅读完美的证明体会『这真是太厉害了』的感觉也是很重要的经验。」

「嗯、嗯，我懂，在学英文的时候，在听到以英文当母语的人的发音后，我也会希望自己的发音能像对方一样……而且学长，我听了学长的话之后……都会特别有活力。我、我真的……」

她一边说话一边放慢脚步，一向活泼的蒂蒂在回家的路上总是慢慢地行走。

我们陷入短暂的沉默，只是向前漫步。

「啊，对了，这星期六要不要去天文台？」

「咦……和学长吗？去天文台？跟我吗？」蒂蒂用食指指着自己的鼻子。

「我从都宫那里拿到免费的招待券，说不定值得去看看，你不喜欢吗？」

「我很喜欢！我要去！哇、哇……学长，我好高兴！啊～～可是不邀『那位学姊』可以吗？那个……米尔迦学姊。」

「啊，说得也是。假如蒂蒂你不方便的话……」

「不、不会！不会不方便！我绝对会去的！」

8．9假如世界上只有两个质数的话

假如世界上只有两个人的话，烦恼会不会少很多呢？就是因为人太多才会陷入比较与争夺中吧？假如像亚当与夏娃一样，只存在两个人的世界，就不会有麻烦了吗？只有亚当与夏娃的时候也有麻烦吧？不过那时候还有蛇，真的只剩两个人的话，就不会有问题吗？不，或许问题仍会发生，而且虽然最初是两个人，不过迟早会从他们开始有更多的人出现，这样的话，在丰富变化的同时说不定也产生了烦恼……

「你在想什么啊？」米尔迦问我。

「在想假如世界上只有两个人的话会变成怎么样？」

「喔……打开数学笔记本想这件事？……那就来说说『假如世界上只有两个质数的话』吧。」

米尔迦一如往常地将我的笔记本拿走开始写上算式。

8．9．1折积

「我从头开始说明，首先思考下列式子的积。」米尔迦说，我默默地听。

(2<0次方>＋2<1次方>＋2<平方>＋……)×(3<0次方>＋3<1次方>＋3<平方>＋……)

「这个积向正无限大发散，所以称为形式上的积，不过将开头的几项展开观察。」

2<0次方>3<0次方>＋2<0次方>3<1次方>＋2<1次方>3<0次方>＋2<0次方>3<平方>＋2<1次方>3<1次方>＋2<平方>3<0次方>＋……

「依照指数的和来分类的话，就能看清规律。」

(2<0次方>3<0次方>)＋(2<0次方>3<1次方>＋2<1次方>3<0次方>)＋(2<0次方>3<平方>＋2<1次方>3<1次方>＋2<平方>3<0次方>)＋……

「也就是能用下面的二重和来表现。」

Σ<n=0到∞,Σ<k=0到n,2<k次方>3<n－k次方>>>

我看着式子的展开并点点头，接着开口说：

「米尔迦，这是折积吧，外侧的Σ<n=0到∞,>会让n以0，1，2，……的规律增加，然后里面的Σ<n=k到∞,>会对应n列出指数的和。也就是将2与3的指数『平分』……」

「平分？……嗯，也可以这样说，所以只拥有2或3的质因数的正整数，必定只会在这个和中出现一次，这是因为在2与3的指数部分，0以上的整数任意组合也只出现过一次而已。」

「原来如此，的确是这样。」我回答。

「虽然是只拥有2或3的质因子，不过也包含1。」她接着补充。

8．9．2等比级数收敛

米尔迦继续说：「这次就来思考下面的无穷级数的积，命名为Q<2>。」

Q<2>＝(1/2<0次方>＋1/2<1次方>＋1/2<平方>……)×(1/3<0次方>＋1/3<1次方>＋1/3<平方>……)

「刚才那个是向正无限大发散、形式上的积，但是这式子却不：这是因为Q<2>，的两个无穷级数是收敛等此级数的关系，用等比级数公式算两个因式的话，会出现Q2，的积的形式。」

Q<2>＝(1/2<0次方>＋1/2<1次方>＋1/2<平方>……)×(1/3<0次方>＋1/3<1次方>＋1/3<平方>……)

＝(1/(1－1/2))×(1/(1－1/3))『积的形式』

她继续说下去。「现在试试将Q<2>从头展开，Q<2>就会变成『和的形式』，然后分母就会出现刚才的2<k次方>3<n－k次方>。」

Q<2>＝(1/2<0次方>＋1/2<1次方>＋1/2<平方>……)×(1/3<0次方>＋1/3<1次方>＋1/3<平方>……)

＝1/(2<0次方>3<0次方>)＋(1/(2<0次方>3<1次方>)＋(1/2<1次方>3<0次方>))＋((1/2<0次方>3<平方>)＋(1/2<1次方>3<1次方>)＋(1/2<平方>3<0次方>))＋……

＝Σ<n=0到∞,Σ<k=0到n,1/(2<k次方>3<n－k次方>)>>『和的形式』

「Q<2>可以用以上两个方法求出，也就是说下面的等式成立。」米尔迦说。

(1/(1－1/2))×(1/(1－1/3))＝Σ<n=0到∞,Σ<k=0到n,1/(2<k次方>3<n－k次方>)>>

「左边是积，右边是和啊。」我说。

8．9．3质因数分解的唯一性

「那么在这里假设『世界上只有2和3两个质数』，然后所有的正整数就一定只会在的分母2<k次方>3<n－k次方>出现一次。」

「咦？米尔迦，2<k次方>3<n－k次方>并不能表现全部的正整数吧？就算加上1，也只会有包含2或3这两个质因数的正整数而已，像是5或7或10之类的都不会出现。」我说。

「所以才假设『世界上只有2和3两个质数』，假如世界上只有2和3这两个质数，就不会有5或7或10之类的整数了，还不懂我在说什么吗？」她回答。

「你说的是质因子分解的唯一性吧，『比1大的所有整数都可以用唯一的质数积表示』。所以你想说『世界上只有2和3两个质数的话，就不会有5或7的整数』？不过『世界上只有两个质数』的话题还是到此停止吧。总觉得不会有什么结果。」

「我知道了，你这么说的话就算了，不接受质数只有2个的原因是质数根本不可能只有2个，那假设世界上的质数只有m个。」米尔迦说。

「这……所以就说不行了，不管是2个还是m个都一样，这样假设的话。质数就会变成有限个了。」米尔迦到底想要说什么？

「就是假设『质数是有限个』啊，你还没发现吗？」

看着米尔迦的表情，我突然想到了。

「反证法……吗？」

8．9．4质数无限的证明

反证法——基本的证明方法之一，总而言之就是『否定想要证明的命题，将其导致矛盾』。不过，对否定想证明的命题这种难以处理法感到棘手的人也相当多。

※※反证法

假设：否定想证明的命题

↓

矛盾

↓

假设为否

↓

结论：则命题为真

「从现在开始就要使用反证法证明质数有无数存在。」

她仿佛手术前的外科医师般将两手展开宣言。

「米尔迦，说到证明质数无限，要用欧几里德的方法吧？假设质数为有限个，将全部的质数相乘再加1还会是质数……」

我说到一半的时候，米尔迦将手指伸到我的面前摇晃，要我别再说下去。

「假设质数为有限个。」米尔迦干脆地继续说下去。

「假设质数的个数有m个，则全部的质数依照由小到大的顺序可以大小成……

p<1>，p<2>，……，p<3>，……，p<m>

最初的3个是p<1>＝2、p<2>＝3、p<3>＝5喔，在这里思考下面的无限和Q<m>的有限积。」

Q<m>＝(1/2<0次方>＋1/2<1次方>＋1/2<平方>＋……)×(1/3<0次方>＋1/3<1次方>＋1/3<平方>＋……)……(1/p<m><0次方>＋1/p<m><1次方>＋1/p<m><平方>＋……)

＝∏<k=1到m,1/p<k><0次方>＋1/p<k><1次方>＋1/p<k><平方>＋……>『积的形式』

＝∏<k=1到m,1/(1－1/p<k>)>

「简单地说，就是将刚才的Q<2>中的两个质数变成m个，然后因为是m个有限的数值相乘，所以也是有限的。」

我看着式子思考。

「嗯……啊，原来如此，没错，由于质数p<k>是2以上，所以等比级数1/p<k><0次方>＋1/p<k><1次方>＋1/p<k><平方>＋……会收敛在1/(1－1/p<k>)，也就是会成为有限的数值。」

「没错，所以从现在开始会变得更有趣。」

说完话的米尔迦伸出细舌慢慢地舔着上唇。

「将刚才对2与3做的事情同样地移到对m个质数上，也就是在有限的前提下具体地展开算式，用你的表现方式来说，这次不是两个质数『平分』，而是m个质数『平分』。」

Q<m>＝(1/2<0次方>＋1/2<1次方>＋1/2<平方>＋……)×(1/3<0次方>＋1/3<1次方>＋1/3<平方>＋……)……(1/p<m><0次方>＋1/p<m><1次方>＋1/p<m><平方>＋……)

＝(1/(2<0次方>3<0次方>5<0次方>……p<m><0次方>))＋((1/(2<1次方>3<0次方>5<0次方>……p<m><0次方>)＋……＋(1/(2<0次方>3<0次方>5<0次方>……p<m><1次方>))＋……——以指数和分类

＝Σ<k=0到∞,Σ<,1/(2<r<1>次方>3<r<2>次方>5<r<3>次方>……p<m><r<m>次方>)>>『和的形式』

「会变成这样的式子。」米尔迦说。

「这、这个……最后的式子我不太懂，特别是内侧的Σ什么都没有写。」

「虽然什么都没有写，不过内侧的Σ满足r<1>＋r<2>＋……＋r<m>＝n，故取r1，r2，……，r<m>做为全部的总和。」

「这就是『指数之和为n的全部组合』吗，米尔迦？」

「没错。简单地说，Q<m>就是1/(质数的积)各项的和，将p<k>的指数以n表示，让指数之和的全部组合为n，取出1/(质数的积)的和。接下来注意分母，也就是『质数的积』的部分，会变成这样。」

2<r<1>次方>3<r<2>次方>5<r<3>次方>……p<m><r<m>次方>

「从反证法的假设，世界上的质数只有m个，从质因子分解的唯一性可知，全部的正整数2<r<1>次方>3<r<2>次方>5<r<3>次方>……p<m><r<m>次方>有唯一的分解法，也就是说……将Q<m>展开的各项1/(质数的积)的分母中，所有的正整数必然只会出现一次。」

「嗯……这和刚刚的2和3情况一样。」

「分母中『所有的正整数必然会只出现一次』，也就是下式会成立的意思。」

Q<m>＝1/1＋1/2＋1/3＋1/4

「啊！」是调和级数。

「你终于发现了。」

「明明Q<m>是有限，但是总和却会发散。」

「没错，由收敛的无穷等比级数可知Q<m>是有限的。」米尔迎接二连三地说下去。

Q<m>＝∏<k=1到m,1/(1－1/p<k>)>(有限的值)

「然而现在Q<m>又等于调和级数Σ<k=1到∞,1/k>。」

Q<m>＝Σ<k=1到∞,1/k>(调和级数)

「也就是会形成下式。」

∏<k=1到m,1/(1－1/p<k>)＝Σ<k=1到∞,1/k>

「左边是由反证法的假设得到质数为有限个，右边是从调和级数得到『向正无限大发散』，所以两式矛盾。」

「！」我说不出话来。

「从反证法的假设『质数为有限个』导出的矛盾，因此假设为否，命越为真，表示『质数有无数存在』，QuodEratDemonstrandum……证明终了。」

米尔迦竖起食指发出宣言。

「好，就到此告一段落了。」

调和级数的发散竟然会与证明质数的无限有关连……真让人吃惊，这可是相当贵重的宝物。

「这完美的证明是从被称赞为『他计算起来好像一点也不费力，有如人呼吸空气、老鹰乘风飞翔一样』的老师得来的。」

「我们的老师是……？」

「就是十八世纪最伟大的数学家——莱昂哈德×尤拉啊。」

米尔迦面对着我说。

※※调和级数与质数的无限性质

假设：质数是有限个

↓

『积的形式』←Qm→『和的形式』

↓ ↓

收敛在有限值→Qm←向正的无限大发散

↓

假设为否

↓

结论：质数是无限个

8．10天文台

星期六。

天文台里有许多情侣与带着小孩的父母，我与蒂蒂在相邻的座位坐下，圆顶的中央摆设了一台形状怪异的黑色投影机。

「和学长一起来天文台让我有点紧张，今天早上我起得非常早喔，嘿嘿。」蒂蒂敲了敲自己的头。

过了一会儿，照明关上了，四周投影出一片黄昏景色，太阳西下，星星一颗一颗地浮现，夜空不久后布满大大小小的光点。

「好漂亮……」

旁边的蒂蒂发出赞叹声，确实相当漂亮。

——那现在开始，就让我们飞向北极点吧。——

解说员声音停止的同时，天幕的所有星辰一齐旋转，让人有种置身在空中的错觉，身体也跟着不由自主地僵硬起来，我们很快就到达了北极点。

「极光！」不知从哪里传来小孩子的叫喊。

细微的光芒不断迭合，形成了一片帘幕；起伏的层次互相交合将我们围在中央，观客们也安静下来，沉浸在光的旋律之中。

与任何世界、任何时间分离，我与蒂蒂两个人到达了北极点；到达了遥远的世界、遥远的时间，我们一起眺望宇宙，眺望着这有限却看似无限的星空。

就在这时……

我的心脏「扑通」一跳。

我的右腕感受到蒂蒂的重量。

她抱住我的手肘、将身体靠在我的身上，从她身上传来的香味变得更浓了。

蒂蒂……

解说员讲解从北极点可以看见哪些星座、地轴倾斜与永昼的现象，声音虽然在我的耳边响着，却到达不了我的脑海。

空中群星闪烁，我的心中却只浮现了正在身边的蒂蒂身影，呼唤名字就会容姿焕发的蒂蒂、活泼的蒂蒂、认真的蒂蒂、打破砂锅问到底，却总是犯下简单错误的蒂蒂，专注、一心一意、充满活力的蒂蒂。

这样的蒂蒂，对我……？

我已经不晓得我在想什么了。

即使心意无法完全重合，倘若保持一致，看起来就能十分相近，即使会花上许多时间……即使有如递推公式一样缓慢行进。

我们共享着有限的时光，所见所知极其细微，可是我们掌握了无限，我们将所见化为方法、将所知化为工具，我们没有翅膀，但是我们有语言。

……就这样，时间逐渐流逝，天空的极光终于像被吹散般消失，解说员沉稳的声音将我们带回现实。

——各位有好好享受这短暂的旅程吗？一—

照明亮起，群星被白光吞噬，刚才繁星笼罩的天幕变成了近似多媒体的屏幕。

从幻想中归来的观客们像是不舍却又松口气似地咳嗽、伸懒腰、准备起身，大家都各自回到了自己的生活里。

但是……

但是我仍然被蒂蒂抓着，我们依旧留在北极点；在遥远的世界、北极光之下。

嗯……要怎么出声比较好呢？我慢慢地看向她。

「……咦？」

蒂蒂靠着我睡着了。

而且还睡得很沉。

★★「我」的笔记本

部分和Σ<k=1到n,a<k>>＝a<1>＋a<2>＋a<3>＋……＋a<n>

无穷级数Σ<k=1到∞,a<k>>＝a<1>＋a<2>＋a<3>＋……

调和数H<n>＝Σ<k=1到n,1/k>＝

调和级数H<∞>＝Σ<k=1到∞,1/k>＝(1/1)＋(1/2)＋(1/3)＋……

黎曼函数ζ(s)＝Σ<k=1到∞,1/k<s次方>>

黎曼函数与调和级数ζ(1)＝Σ<k=1到∞,1/k>

黎曼函数与尤拉积ζ(s)＝∏<质数p,f(k),1/(1－1/p<s次方>)>

第9章泰勒展开式与贝塞尔问题

我在这里将连贯的数章分开，

探求着无穷级数的诸多性质与其总和。

若不准备好解析无限的方法，

这些无穷级数具备着无法一探究竟的性质。

——尤拉[25]

9．1图书室

9．1．1两张卡片

「学长～～信来了！」

总是充满活力的蒂蒂跑向我，挥舞手上的卡片并大声呼喊我的名字，不过音量稍微……

「蒂蒂，这里是图书室，而高中生的我们需要安静，所以请轻声细语。」

「啊，是的……对不起。」她回过神后低下头，不好意思地看了看周围。

一如往常的图书室，一如往常的放学后，一如往常的活力少女——蒂蒂。

确实图书室里只有我们……但是太过吵闹而惊动管理员瑞谷老师就麻烦了。

「嗯……来，这是学长的卡片。」她将手上的两张卡片看了一会儿，递给我其中一张，然后说：「这是我的」，而将另一张卡片放在胸前。

「咦？蒂蒂也拿到村木老师的卡片吗？」

「嘿嘿嘿，是啊，我跟村木老师说『学长正在数我数学』，结果老师就拿了卡片给我，说一张是我的，另一张给学长，就是这样，所以我今天是邮差喔。」

蒂蒂露出纯真的笑容。

我的卡片上写着这样的式子。

※※(我的卡片)

Σ<k=1到∞,1/k<平方>>

而蒂蒂的卡片则是……

※※(蒂蒂的卡片)

sinx＝Σ<k=0到∞,a<k>x<k次方>>

「学长，我的卡片是『研究课题』吧？」恢复认真表情的蒂蒂在我旁边坐下后发问。

「没错，『研究课题』……以这张卡片为出发点，自己做出问题，自由地思考，村木老师有时候会出这种问题给我们。」

蒂蒂将脸凑近用双手拿着的卡片，应该是在思考式中的意思。

「那个……学长，像sinx＝Σ<k=0到∞,a<k>x<k次方>>这种方程式，我怎么解都解不开。」

「蒂蒂，这不是求x的问题，也就是说，这个式子不是方程式。」我笑着回答。

「不是……方程式？」

「嗯，这不是方程式，而是恒等式，想办法让这张卡片上的式子变成恒等式——也就是要对所有x成立——要我们求出数列a<0>，a<1>，a<2>，……的问题。」

「呃，这个……学长，可以先教我一点开头吗？实际解问题时我会自己加油的……只要一开始的部分就好。」

蒂蒂说完话，她的手像是抓着透明的楼梯般地一层一层往上爬，这楼梯大概会一直朝天空延伸下去……

直到无限的远方为止。

9．1．2无穷多项式

「那试试看像这样设定问题吧。」我边说边在蒂蒂的卡片上写下问题。

※※问题9－1

假设函数sinx如下展开幂级数，求此时之序列a<k>。

sinx＝Σ<k=0到∞,a<k>x<k次方>>

「幂级数……是……？」

「幂级数就是这张卡片右边的无穷多项式，多项式则是……例如，你知道对x的二次多项式吧？」

「这个吗？」蒂蒂打开笔记本。

ax<平方>＋bx＋c二次多项式(？)

「是的，但是严密来说不正确，必须再加上a≠0这个条件，不然的话……假如a＝0，b≠0就不是二次多项，而是一次多项式了，将加上去试看看。」

「好的。」

她马 上回答并动手写在笔记本上，真纯真。

ax<平方>＋bx＋c二次多项式(a≠0)

「那个，学长……无穷多项式是这样写吗？总觉得很奇怪。」

ax<∞次方>＋bx<∞－1次方>＋cx<∞－2次方>＋……无穷多项式(？)

原来如此，蒂蒂会写成这样……

「不对不对，这样太麻烦了，蒂蒂，无穷多项式要从次数小的项开始写，不然会变成在指数部分加上∞的奇怪状况，无限次方的『无限』部分由最后的删节号(……)表现，比较下面这两个式子就很清楚。」

a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>二次多项式(a<2>≠0)

a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>＋……无穷多项式(幂级数)

「啊，原来如此。先写x的指数比较小的部分，这样说也没错……话说回来，为什么不用a，b，c，……，而是用出a<0>，a<1>，a<2>，……呢？」

「因为若是系数使用a，b，c，……，z，就表示只能从0到25次方而已，毕竟英文字母只有26个，而且……变量已经用x了，系数就不能再用用x。再来，a<k>一样使用k这个变量，在广义化的时候也会比较容易，因为『导入变量而形成广义化』……那么在这里，将问题9－1的式子去掉∑写写看。」

sinx＝a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>＋……＋a<k>x<k次方>＋……

「这样就能求出序列a<k>吗？」

「还没还没。这只是将刚才问题9－1的∑具体地写出来，这是将sinx的变化当成手段，来求出a<k>的问题，最后可以找出a<0>，a<1>，a<2>，……的实际值。」

「能知道实际的数值吗？a<0>，a<1>，a<2>，……全部的实际数值？」

「没错，全部。将三角函数画成图的话，就会变成这样的曲线，是所谓的正弦曲线，看这个图可以立刻找出a<0>。」我边画图边说。

[插图：y＝sinx]

「蒂蒂，看着这张图想想看，a<0>是什么？能说出具体的数值吗？」

「咦？我也能想出来吗？」

「绝对可以，现在在这里努力地想想看。」

蒂蒂认真地看着式子与图，开始寻找a<0>的值。

sinx＝a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>＋a<3>x<立方>＋……

蒂蒂的表情相当丰富，当她开心的时候、困扰的时候、陷入思考的时候，心里的想法会直接反应在脸上，越看越觉得自己的心情也会随之起舞。

嗯……大眼睛是蒂蒂的注册商标啊，灵活转动的瞳孔、夸张的动作也让人有很不错的感觉，而最重要的是，她以直率的性格作为一切的根本……不过，分析这个也没有意义，蒂蒂就是蒂蒂啊。(无名之声：你还好意思说)

过来一会儿，她高兴地抬起头。

「学长，这很简单，我知道了，是0！a<0>＝0！」

「没错，为什么呢？」

「看这张图就能知道sin0的值是0了，因为图上有通过x＝0，y＝0的点，也就是说x＝0，式子a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>＋……应该要等于0、等于sin0，然后也因为x＝0，所以右边的式子只剩下a<0>，除了a<0>之外其它的系数都乘上x＝0而剩下a<0>，因此a<0>的值是0。」

「正确答案，不过不可以太激动。」

「啊……对不起，要轻声细语……对吧？」

「也不是，因为激动喊着0！的话，就会变成1了。」

「……」

「……」

「……」(无名之声：激动地喊0就变成「0!」，数学上人们定义0!＝1，这个冷笑话还真冷，男猪你还是专学数学吧，哄女生你没天分＝。＝)

「……继续吧，能知道a<0>以外的值吗？」

自己解出a<0>＝0正确答案的蒂蒂，再度用她的大眼睛端详算式，并且开始计算。

嗯，活力女孩蒂蒂在必要时的集中力也很恐怖，这也是她的特色之一吧。

蒂蒂开始跟问题9－1奋战。

我则是开始面对我的卡片Σ<k=1到∞,1/k<平方>>，我先打开笔记本、握起自动铅笔，首先……从掌握具体的型态开始。

这里是图书室，高中生的我们安静地开始用功。

9．2自我学习

在回家的路上，我和蒂蒂在曲折的住宅区小巷里往车站前进，我一如往常地配合着蒂蒂的脚步慢慢行走。

「关于sinx的幂级数思考到哪里了？」

sinx＝a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>＋a<3>x<立方>＋……

「因为知道代入x＝0会得到a<0>＝0，所以想代入x＝π/2或x＝π计算看看，毕竟我对sin的了解只有sinπ/2＝1或sinπ＝0之类而已……」

她伸出食指，一边小声地说「波形、波形、波形」，一边画着正弦曲线。

「原来如此。」我不禁微笑。

「……不过，就算知道sinπ/2＝1，重要的……右边的幂级数以π/2代入x的值却不知道，所以我很挫折，唉～～」

「要给你提示吗？」

「啊，好的。」

「蒂蒂知道研究函数最强的武器吗？」

「武器吗？」蒂蒂闭上左眼，摆出对我射击的动作。

「研究函数最强的武器之一就是微分。」

「微分……我还没学到，嗯，是有听说过，我自己也有兴趣。」

「蒂蒂在这方面比较被动吗？」

「被动……？」

「在图书馆或书店有很多很好的书，从学习用的参考书到专门书籍都随你挑选，在学校跟老师学习，这在启发上很重要，但是从头到尾都在学校等着老师教你就太被动了，假如这是兴趣的话……」

「唔……」

她似乎有点不知所措，我说得太过火了吗？

「蒂蒂喜欢英语吧……你会读外文书籍吧？」

「是啊，我常常读paperback。」

「当遇到不知道的单字时，你会等老师来教你吗？」

「不会，我会自己查字典，不会等到上课才学，因为我想先读完文章……啊，学长要说的就是这个吧？」

「是的，我们因为喜欢而去学，没有必要等待老师，也不用等到上课，可以自己找书、可以自己阅读，这样就能学得更深更广。」

「的确……我在读英文书籍时会自己前进，会期待『再来要读哪本书呢？』不只是查单字，也会在辞典里找同义字之类的，原来数学也是要这样学习，想想这也是当然的……不过因为上课还没上到，所以好像会有种先学不太好的感觉。」

「……话题好像变了，刚刚说到哪里？」

「Wherewerewe？」

「咦？」

「学长……我们到『Beans』一起想吧。」

对于蒂蒂满怀期望的提案，我没有任何抵抗能力。

9．3『Beans』

9．3．1微分的规则

这已经是第几次和蒂蒂一起来车站前的咖啡厅『Beans』呢？曾几何时，我们已经习惯并肩坐在一起了，为什么……要说为什么的话，因为面对面坐着不方便阅读算式，我们坐下后摊开笔记本。

「从这里开始，若是不晓得三角函数的微分和多项式的微分，会稍微辛苦一点，不过在困难的地方我会说明『微分的规则』的关键。」

「……没关系，我会加油的！」蒂蒂握紧双拳。

「将sinx以下面的幂级数表现。」

sinx＝a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>＋a<3>x<立方>＋……

「sinx并不是自然地就能以这种形式表现，必须经过证明，不过现在先暂时不管，而现在的目标是解开无穷数列a<k>＝a<0>，a<1>，a<2>，……会变成什么样的数列，将sinx这个函数分解成a<k>这个数列，这就是函数的幂级数展开……到这里为止明白吗？」

蒂蒂认真地点点头。

「然后a<0>的值在刚才已经被蒂蒂用x＝0找到了，因为＝0，所以下式成立。」

a<0>＝0

蒂蒂看了之后微微点头。很好，继续下去吧。

「你还不知道微分，不过现在没有时间，没办法从微分的定义开始说明，所以就先将微分当成一种计算的规则吧，将微分当成『从函数中做出函数的计算』……虽然也不能算是错误的。」

「『从函数中做出函数的计算』吗？」

「没错，将f(x)这个函数微分的话，会得到另一个函数，而这个函数被称为f(x)的导函数，f(x)的导函数写成f’(x)，虽然也有其它书写方式，不过f’(x)比较常被使用。」

f(x)函数f(x)

↓微分

f’(x)函数f(x)的导函数

「在这里列出一些限制微分的『微分的规则』，假如学过微分的定义，这些规则都可以由定义证明，不过这里就先跳过。」

※※『微分的规则(1)』常数的微分会变成0。

(a)’＝0

『微分的规则(2)』x<n次方>微分会变成nx<n－1次方>。

(x<n次方>)’＝nx<n－1次方>(指数会下降)

『微分的规则(3)』sinx微分会变成cosx。

(sinx)’＝cosx

「这些『微分的规则』是把apriori做为given吧。」蒂蒂说。

「咦？把apriori做为given？」(无名之声：「apriori」，法语单词，表示「先验的，由因及果的，演绎的」)

「把『微分的规则』当成是一开始给予的工具吧。」蒂蒂改口说。

「……嗯，就是这样，接着将下面两个式子对x微分。」我在笔记本中写上式子。

sinx＝a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>＋a<3>x<立方>＋a<4>x<4次方>＋……

(sinx)’＝(a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>＋a<3>x<立方>＋a<4>x<4次方>＋……)’

「微分的结果会像下面的算式，能理解吗，蒂蒂？」

cosx＝a<1>＋2a<2>x＋3a<立方>x<平方>4a<4>x<立方>＋……

她反复看了看『微分的规则』与上面的式子。

「嗯……左边是『微分的规则(3)』吧，sinx微分会变成cosx，然后右边将『微分的规则(2)』用在各项。」

「没错，虽然本来应该要先证明可以适用在微分算子的线性与幂级数上。」

「啊，不过为什么a<0>消失了？」

「因为a<0>，是与x无关的常数，所以用『微分的规则(1)』消去，常数的微分会变成0。」

「我懂了，学长，我理解『微分的规则』怎么导出以下的式子了。」

cosx＝a<1>＋2a<2>x＋3a<立方>x<平方>4a<4>x<立方>＋……

9．3．2再微分

「那么看看下面的式子，蒂蒂知道a<1>的值吗？假如看y＝cosx的图应该就知道了。」

cosx＝a<1>＋2a<2>x＋3a<立方>x<平方>4a<4>x<立方>＋……

[插图：y＝cosx]

「咦？……啊，难道说和刚才一样吗？将0代入cosx＝……的式子就好了吧？嗯……这样子对吗？」

cosx＝a<1>＋2a<2>×0＋3a<3>×0<平方>＋4a<4>×0<立方>＋……

＝a<1>

「然后从图中得cos0＝1，所以……会变成这个答案吧！」

a<1>＝1

「没错。」我点点头。

蒂蒂的脸上浮现出笑容。

「学长！我看到之后要怎么做了！接下来要把cosx微分吧？」

「没错，就是这样，为此需要(cosx)’的计算规则，这是cosx用的『微分的规则』。」

※※『微分的规则(4)』cosx微分会变成－sinx。

(cosx)’＝－sinx

「这样的话，把cosx微分……」

cosx＝a<1>＋2a<2>x＋3a<3>x<平方>＋4a<4>x<立方>＋……

(cosx)’＝(a<1>＋2a<2>x＋3a<3>x<平方>＋4a<4>x<立方>＋……)’

「就会变成这样！」抬起头的蒂蒂脸上泛起红潮。

－sinx＝2a<2>＋6a<3>x＋12a<4>x<平方>＋……

「嗯，没错，这要求的系数是？」我问。

「是a<2>，就像之前一样代入x＝0。」蒂蒂迅速地写在笔记本上。

－sinx＝2a<2>＋6a<3>x＋12a<4>x<平方>＋……由上述所得的式子

－sin＝2a<2>代入x＝0

a<2>＝0用sin0＝0整理式子

「这样就求出a<2>＝0了，我似乎充分地运用最强的武器了，状况越来越好……好的，下一个『微分的规则』是什么？」

「已经不用了。」

「但是这次要－sinx……啊，这可以sinx的微分得到。」

「没错，之后就是反复绕圈。」

「绕圈？」

「将sinx微分就变成cosx，将cosx微分就变成sinx……会变成下面所列的『以4次为周期的循环』，这就是三角函数微分的特征。」我对蒂蒂讲解性质。

※※三角函数微分

微分

sinx→cosx

微分↑↓微分

－cosx←－sinx

微分

「我知道了，接下来求a<2>。」

－sinx＝2a<2>＋6a<3>x＋12a<4>x<平方>＋……刚才得到的式子

(－sinx)’＝(2a<2>＋6a<3>x＋12a<4>x<平方>＋……)’将两边微分

－cosx＝6a<3>＋24a<4>x＋……用『微分的规则』

－cos0＝6a<3>代入x＝0

a<3>＝-1/6用cos0＝1将式子整理

「……好的，求出a<3>＝-1/6了，再来是a<4>……」

「稍等一下，虽然一个一个求下去也是可以，不过试着统整全体看看，没问题吧？」

「咦？……啊！没问题！」

9．3．3sinx的泰勒展开式

我们喝着已经冷掉的咖啡，将笔记本翻到新的一页，我给她口头上的提示，蒂蒂自己在笔记本中写上算式。

「现在我们要做sinx的幂级数展开，刚才已经求出了系数中的a<0>，a<1>，a<2>，a<3>四个数，接着就是要统整，再写一次sinx的幂级数展开吧。」我说。

「好的，是这样吧。」

sinx＝a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>＋a<3>x<立方>＋a<4>x<4次方>＋a<5>x<5次方>＋……

「嗯，这样就好，对了，将x写成x<1次方>吧。」

sinx＝a<0>＋a<1>x<1次方>＋a<2>x<平方>＋a<3>x<立方>＋a<4>x<4次方>＋a<5>x<5次方>＋……

「两边同时微分，不过现在不要将系数计算出来，以积的形式保留下来，这是关键。」

「咦？学长……不要计算吗？」

「没错，不要计算，让积保留下来比较容易找出『规则性』。来，试试看，要特别注意常数项。」

sinx＝a<0>＋a<1>x<1次方>＋a<2>x<平方>＋a<3>x<立方>＋a<4>x<4次方>＋a<5>x<5次方>……

↓微分

cosx＝1×a<1>＋2×a<2>x<1次方>＋3×a<3>x<平方>＋4×a<4>x<立方>＋5×a<5>x<4次方>……

↓微分

－sinx＝2×1×a<2>＋3×2×a<3>x<1次方>＋4×3×a<4>x<平方>＋5×4×a<5>x<立方>……

↓微分

－cosx＝3×2×1×a<3>＋4×3×2×a<4>x<1次方>＋5×4×3×a<5>x<平方>……

↓微分

sinx＝4×3×2×1×a<4>＋5×4×3×2×a<5>x<1次方>＋……

↓微分

cosx＝5×4×3×2×1×a<5>＋……

↓微分.

.

.

「好的！」

「学长！我找到『规律性』了，会出现5×4×3×2×1这样规则的积……原来如此，『微分的规则(2)』的『指数会下降』发挥效果了，我已经了解相乘数会有规则的变化。」

「没错没错，自己动手写出算式就能清楚体会这种感觉，不能只是看，动手写也是很重要的，蒂蒂。」

「真的是这样。」

「接下来就用求出的导函数，以x＝0观察式子会变成怎么样吧。」

「好的，是像小时候的牵牛花观察日记一样观察吧……嗯，因为sin0＝0且cos0＝1……」

0＝a<0>

＋1＝1×a<1>

0＝2×1×a<2>

－1＝3×2×1×a<3>

0＝4×3×2×1×a<4>

＋1＝5×4×3×2×1×a<5>

「发现『规则性』了！」

「嗯，左边的1写成＋1或许比较好，现在要求的是序列a<k>，将上式的各个a<k>整理到左边，5×4×3×2×1由于是阶乘，所以写成5!，这样就能做幂级数展开了，将下式的ak具体地写出来。」

sinx＝a<0>＋a<1>x<1次方>＋a<2>x<平方>＋a<3>x<立方>＋……

「好的！0不用管，所以就是a<1>，a<2>，a<3>，…………好，完成了！」

「嗯，蒂蒂所写的这个幂级数展开，被称为sinx的泰勒展开式喔。」

※※sinx的泰勒展开式

sinx＝＋(x<1次方>/1!)－(x<立方>/3!)＋(x<5次方>/5!)－(x<7次方>/7!)＋……

「我正想说是蒂德菈展开式呢……」

「……」

「……」

「……」

「……不、不过这好像很难记起来，好复杂。」

「确实是很复杂，不过你仔细看，式子里远留下许多推导时的痕迹，例如分母的1!，3!，5!这些阶乘就是不断微分指数、数字下降的结果。＋与－号的交错，没有x的偶次方项，这都是来自0，＋1，0，－1的环，自己动手导出的公式并不容易忘记。」

「哈哈……原来如此，或许没那么难……吧。」

「假如故意不用阶乘与乘幂来写的话，就会形成很有节奏感的有有趣算式。」

sinx＝＋(x/1!)－((x×x×x)/3!)＋((x×x×x×x×x)/5!)－((x×x×x×x×x×x×x×x)/7!)＋……

「咦……看起来好漂亮，这样写也可以吗？」;

「当然没问题，为了增加乐趣或是方便理解，可以试试很多种不同的写法喔，尤拉也曾经在书里把x<平方>写成xx，不过考试的时候写成x×x就不太好，那么现在就可以解答卡片上的问题9－1了。」

「咦？啊，好的，我已经忘了卡片的事了……是这个吧。」

※※问题9－1

假设函数sinx如下展开幂级数，求此时之序列a<k>。

sinx＝Σ<k=0到∞,a<k>x<k次方>>

「可以依照k除以4所得的余数将数列a<k>分类。」我说。

※※解答9－1

a<k>＝0k除以4得到的余数为0的时候

a<k>＝＋1/k!k除以4得到的余数为1的时候

a<k>＝0k除以4得到的余数为2的时候

a<k>＝－1/k!k除以4得到的余数为3的时候

9．3．4函数的极限

「话说回来，现在稍微深入思考一下sinx的泰勒展开式的内涵，再写一次sinx的泰勒展开式。」

「那个……可以写有节奏感的泰勒展开式吗？总觉得想写写看。」

sinx＝＋x/1－(x×x×x)/(1×2×3)＋(x×x×x×x×x)/(1×2×3×4×5)－(x×x×x×x×x×x×x×x)/(1×2×3×4×5×6×7)＋……

「蒂蒂，这个式子是无穷级数——也就是由无限个项构成的和，从无穷级数中取出有限个的部分和思考看看，在这里将到xk项为止的部分和设做s<k>(x)，当然s<k>(x)也是x的函数。」

s<1>(x)＝＋x/1

s<3>(x)＝＋x/1－(x×x×x)/(1×2×3)

s<5>(x)＝＋x/1－(x×x×x)/(1×2×3)＋(x×x×x×x×x)/(1×2×3×4×5)

s<7>(x)＝＋x/1－(x×x×x)/(1×2×3)＋(x×x×x×x×x)/(1×2×3×4×5)－(x×x×x×x×x×x×x×x)/(1×2×3×4×5×6×7)

我从背包里拿出图表用纸。

「画画看函数s<1>(x)，s<3>(x)，s<5>(x)，s<7>(x)，……的图，也就是将y＝s<k>(x)以k＝1，3，5，7，……描绘，就可以清楚地发现这个函数会渐渐接近sinx。我将图画出来。

[插图：y＝sinx与y＝s<1>(x)＝x/1在同一平面直角坐标系内]

[插图：y＝sinx与y＝s<3>(x)＝＋x/1－(x×x×x)/(1×2×3)在同一平面直角坐标系内]

[插图：y＝sinx与y＝s<5>(x)＝＋x/1－(x×x×x)/(1×2×3)＋(x×x×x×x×x)/(1×2×3×4×5)在同一平面直角坐标系内]

[插图：y＝sinx与y＝s<7>(x)＝＋x/1－(x×x×x)/(1×2×3)＋(x×x×x×x×x)/(1×2×3×4×5)－(x×x×x×x×x×x×x×x)/(1×2×3×4×5×6×7)在同一平面直角坐标系内]

「喔……原来如此。学长，我不懂将sinx以幂级数表现是什么意思，虽然我能理解用『微分的规则』导出式子，但是会有种『所以呢？』的感觉。不过看到这张图，k变大之后sk(x)会接近sinx就懂了，这样慢慢贴近正弦函数的样子好可爱。」

「是啊。」

「那、那个……学长。虽然我不太会说，那个sinx……就只是个名称吧，只是将某个函数以sinx表示而已，泰勒展开式也是将同样的函数以幂级数的形式表现。就『sinx』与『幂级数』来说，虽然看起来相当不一样，但是函数的性质没有改变，所以，变成幂级数的形式会相当方便。唔……不好意思我不太会表达。」

「不，不会不会，蒂蒂，你真的很厉害，能清楚地了解本质，就是这样，在要研究函数的时候，能将函数以泰勒展开式的形式展开，可以在比较方便的多项式延长线上进行研究，例如能像刚才一样思考的话会非常有用，因为是无限次所以必须特别注意演算，可是改用幂级数就会十分方便，话说回来，解斐波那契数列和卡塔兰数的时候，用的生成函数也是幂级数。」

「……总觉得好像我在学校上课听讲时，都会去注意比较细微的地方。而不了解整体概要，所以对于要学什么及正在做什么都感到一片混乱。不过学长的话正好相反，细微的地方……就好像之后再让我自己补充一样快速略过，但是对于为什么和正在做什么这种大方向却很明白。」

「嗯～～不是这样，是因为蒂蒂的理解能力……」

「就是这样！」

蒂蒂打断了我要说的话。

「就是这样，学长，就像刚刚我完全不懂微分、幂级数和泰勒公式展开式这些词也是第一一次听到，不过我却懂了，用了泰勒展开式就能像普通的多项式一样研究函数，虽然要我一个人做可能还不行……不过将困难的函数变成无穷多项式——幂级数——xk的无限和的方法，我已经能掌握了。」

蒂蒂将拳头紧握在胸前。

「我想我不会忘记今天学长教过我的泰勒展开式，今天的我已经确实记下来了，当要研究函数的时候就『用泰勒展开式试试看吧』，这都是学长的功劳……」

她的目光突然从我的脸上移开，转向桌上的图表用纸，蒂蒂的脸上不知为何染上一抹嫣红。

「所以……所以……虽然我很抱歉浪费学长的宝贵时间，不过我很喜欢听学长说话，非常地喜欢。学长，我……」

蒂蒂边说边抬起头，看着我毅然说：

「……我一辈子都不会忘记学长教过我的泰勒展开式！」

9．4自家

夜晚。

我在自己的房间看着从村木老师那里拿来的卡片，设定给我的如下。

问题9－2

若以下无穷级数收敛则求其值，若非收敛则说明之。

Σ<k=1到∞,1/k<平方>>

首先先将Σ具体写出来，抓住式子的感觉。

Σ<k=1到∞,1/k<平方>>＝1/1<平方>＋1/2<平方>＋1/3<平方>＋1/4<平方>＋1/5<平方>＋……

虽然想进行下一步，不过似乎不是那么容易就能找到方法，先计算数值，也就是说，并非计算这个无穷级数，而是将这个的部分和以具体的n代入计算，白天都在注意蒂蒂的卡片，所以只计算到一半，先硬算看看。

Σ<k=1到1,1/k<平方>>＝1/1<平方>＝1

Σ<k=1到2,1/k<平方>>＝1＋1/2<平方>＝1.25

Σ<k=1到3,1/k<平方>>＝1.25＋1/3<平方>＝1.3611……

Σ<k=1到4,1/k<平方>>＝1.3611……＋1/4<平方>＝1.423611……

Σ<k=1到5,1/k<平方>>＝1.423611……＋1/5<平方>＝1.463611……

Σ<k=1到6,1/k<平方>>＝1.463611……＋1/6<平方>＝1.491388……

Σ<k=1到7,1/k<平方>>＝1.491388……＋1/7<平方>＝1.511797……

Σ<k=1到8,1/k<平方>>＝1.511797……＋1/8<平方>＝1.527422……

Σ<k=1到9,1/k<平方>>＝1.527422……＋1/9<平方>＝1.539767……

Σ<k=1到10,1/k<平方>>＝1.539767……＋1/10<平方>＝1.549767

嗯，还是不懂，画图看看吧。

「咦？」

我打开背包却没看到图表用纸，是放在学校了吗？

算了，这个部分和看起来不会急遽增加，不过也不能确定会收敛，之前计算调和级数的时候，也是有缓缓发散的级数。

这样说的话，这个式子和调和级数十分相似。

Σ<k=1到∞,1/k<平方>>这次的问题9－2

Σ<k=1到∞,1/k<1次方>>调和级数

不一样的地方只有一个，就是k的指数。这次的问题9－2由于是1/k<平方>的和，所以k的指数是2；而调和级数是1/k<1次方>的和，所以k的指数是1。

指数……指数啊，话说回来，米尔迦教过我关于ζ函数的事，我将函数的定义式再度写在笔记本上。

ζ(s)＝Σ<k=1到∞,1/k<s次方>>(黎曼函数的定义式)

使用这个定义，将调和级数以ζ(1)表示。

ζ(1)＝Σ<k=1到∞,1/k<1次方>>(将调和级数以黎曼函数表示)

问题9－2也以函数的形式书写，由于指数是2，所以ζ(2)是……

ζ(2)＝Σ<k=1到∞,1/k<平方>>(将问题9－2以黎曼函数表示)

命名，命名啊。不过……就算像这样命名，也没办法打开视野。

9．5代数基本定理

「你知道『代数基本定理』吧？」

早上进到教室时，米尔迦突然就指着我问问题。

米尔迦是我的同班同学，她对数学相当拿手，早巳脱离了学校教授的范围，她会读自己喜欢的书，自己找出问题，然后解决问题，虽然我的数学并不算糟，但是跟米尔迦比起来还是差得很远，不过我也不需要产生自卑感，只是我希望也能看见她所看到的世界。

数学创造的美好、伟大及深奥，我已经开始一点一点地享受了，我会站在书店中数理书籍的前面想着：「啊，这里摆的书我大部分都还无法理解吧」，同时也会想到她，想到她的知识到底有多宽广。

于是我变得不了解自己，究竟是在想数学的事呢？还是想着自己的事？抑或是在想着……她的事呢？我郁闷地发现自己的幼稚，她无论做任何事情看起来都是聪敏地完成，跟她比起来，虽然我每天都在演练算式，似乎还是被她远远抛在后头。

不，想这些也无济于事，像蒂蒂一样喊声「加油！」，努力地让自己振作吧。

「米尔迦，代数基本定理？是『n次方程式会有n个解』吗？」

「嗯，大致上没错，『复数系数的n次方程式，会有n个复数解，但是重根同样并入计算』。」

「好长啊。」

「虽然这是高斯老师发现的，不过令人惊讶的是他当时才二十二岁，而且是用博士论文证明，用博士论文来证明这种基本定理是很罕见的。」

看来米尔迦切换到多话授课模式了，在我来之前，她似乎和都宫一直在聊天，我一进入教室，都宫就立刻回到自己的座位，仿佛表现出「多话的才女就拜托你了」的感觉。

米尔迦把我拉到黑板前开始『上课』。

「其实真正的『代数基本定理』只要『任意复数系数的n次方程式，至少会有1个解』就好了，只要至少有1个解α，就能以x－α这个因式来分解n次多项式，从现在开始要证明n次方程式a<n>x<n次方>＋a<n－1>x<n－1次方>＋……＋a<1>x<1次方>＋a<0>＝0至少会有一个解，首先思考函数f(x)＝a<n>x<n次方>＋a<n－1>x<n－1次方>＋……＋a<1>x<1次方>＋a<0>吧，然后调查函数的绝对值|f(x)|能到多小，假如最小值是0的话，就表示有解，在这之前先来复习复数，没问题吧……」

米尔迦以非常快的速度在黑板上书写着，让我见识高斯的证明，我边听她『上课』，边提醒自己是否对复数的理解不太够，虽然感觉是懂了，不过之后必须再自己实际算过、用自己的力量证明，然后在不看证明下能写出来才可以，像米尔迦这样在第一时间就能对人说明，那又是另一种阶段了。

思考的我看着从米尔迦手中写出来的算式，代数基本定理与因式定理的解说『上课』告一段落，她开始用解将n次多项式进行因式分解。

「……具体地试写看看，令n次方程式为a<n>x<n次方>＋a<n－1>x<n－1次方>＋……＋a<1>x<1次方>＋a<0>＝0，n个解为α<1>，α<2>，……，α<n>的话，左边的n次多项式就能因式分解。」米尔迦边说边写。

a<n>x<n次方>＋a<n－1>x<n－1次方>＋……＋a<1>x<1次方>＋a0＝a<n>(x－α<1>)(x－α<2>)……(x－α<n>)

「也就是说，要看出方程式的解与因式分解有直接的关系，虽然这个式子右边的一开始用a<n>，不过同时考虑到最高次x<n次方>的系数就很容易理解。首先两边先除以a<n>，将n次的系数变成1会比较好思考，因为是n次多项式，所以a<n>≠0，因此除以a<n>没有问题。」

这时，教室的入口似乎有人在叫我。

「喔，与传闻中的妹系角色——活力女孩的会面！」

因为低年级学生来访而兴味津津的同学们，不由分说地将蒂蒂拉进教室里，蒂蒂红着脸将图表用纸递给我。

「学长……不好意思到教室打扰你，我是来将这个还给你的。」

然后她嘟着嘴问：「学长……我给人的印象很有活力吗……我有点意外，还有『妹系角色』是什么意思？从今以后我就叫你哥哥啰。」

「啊……不……」

「你叫哥哥的话，或许他会很高兴喔。」米尔迦仍旧对着黑板写着算式，头也不回地说。

这两个人什么时候这么协调了？口吻也这么相近，真奇怪。

「哇……黑板上这么多算式，都是米尔迦学姐写的吗？」

「对了，蒂蒂知道『代数基本定理』吧？」

……看来我们班的多话才女这次要对蒂蒂开始『上课』了。

米尔迦向蒂蒂以超快的速度说明『代数基本定理』、『因式定理』以及『n次方程式中解与系数的关系』。

「……令二次方程式ax<平方>＋bx＋c＝0的解为α，β，ax<平方>＋bx＋c＝a(x－α)(x－β)就会成立。要看出方程式的解，与因式分解有直接的关系，解与系数的关系就像以下的式子。」米尔迦解说。

－b/a＝α＋β

＋c/a＝αβ

「同样令三次方程式ax<立方>＋bx<平方>＋cx＋d＝0的解为为α，β，γ……」

－b/a＝α＋β＋γ

＋c/a＝αβ＋βγ＋γα

－d/a＝αβγ

「然后广义化，令n次方程式a<n>x<n次方>＋a<n－1>x<n－1次方>＋……＋a<1>x＋……＝0的解为α<1>，α<2>，……，α<n>的话……」

－a<n－1>/a<n>＝α<1>＋α<2>＋……＋α<n>

＋a<n－2>/a<n>＝α<1>α<2>＋α<1>α<3>＋……＋α<n－1>α<n>

－a<n－3>/a<n>＝α<1>α<2>α<3>＋α<1>α<2>α<4>＋……＋α<n－2>α<n－1>α<n>

(-1)<k次方>a<n－k>/a<n>＝(α<1>，α<2>，……，α<n>中，k项互乘的总和。)

(-1)<k次方>a<n－n>/a<n>＝α<1>α<2>……α<n>

「原来如此，这就是『n次方程式中解与系数的关系』吧。」

这时候钟声响起，就连活力少女也不禁说出「我的脑袋好像被算式淹没了……」这句话，接着摇摇晃晃地走回一年级的教室。

「很可爱的女孩呢，哥哥。」

说话的米尔迦拨了一下浏海，并用中指推了推眼镜，长发从之间滑落并露出她的耳朵，手跟手指则在空间中划出优美的曲线，我的视然仍然停在她划出那曲线的瞬间。

说到曲线，我也喜欢她的脸型，还有她的嘴唇与所发出的声音，那是会让人想一直听下去、有着丰富声响的声音，以乐器来比喻的话，就像……

「ζ吧。」声音的主人说。

「咦？」

「上次说村木老师的问题是ζ，我应该说过了。」米尔迦把卡给我看。

※※(米尔迦的卡片)

ζ(2)

果然。

跟之前一样，调和数的时候，米尔迦是拿ζ的卡片，所以我想这次也应该相同，村木老师会将同样的问题以两种不同的形式……嗯？不过蒂蒂的卡片就不是了。

「已经解开了吗，米尔迦？」

「要说解开……应该说我记得贝塞尔问题的解答，所以在拿到卡片的时候就回答了。」

「贝塞尔问题？你记得……答案？」

「是啊，贝塞尔问题就是求ζ(2)的问题……我说出答案之后，老师露出苦笑，说不是真的要答案，而是要我从这个式子中找出有趣的问题，他这样告诉我。」米尔迦耸耸肩。

「嗯……这问题这么有名吗？」

「贝塞尔问题可是将十八世纪初的数学家全部打倒的超难问题，在尤拉老师登场之前，没有任何人能提出正确解答，尤拉老师就是因为解开了贝塞尔问题而一举成名。」

「等一下，这么难的问题只靠我们能解开吗？」

「可以。」

米尔迦认真地说。

「虽然在十八世纪初时是个难题，不过现在我们已经有了许多的武器，每天都持续锻炼着的武器。」

「不过米尔迦你还记着答案吧？」

「那只是靠单纯的记忆力而已，难得从老师那里拿到卡片，我想思考别的问题，我想将x设为z，拓展到复数的范围试试看。」

「喔……话说回来，贝塞尔问题……对吧，这个ζ(2)是发散吗？」

「你想知道吗？」米尔迦吃惊地看着我，她的眼镜在一瞬间发出光芒。

「不是不是，我说错了，刚才是我的失言，我还在想，所以先不要告诉我。」我慌忙回答。

接着我在卡片的最后写上了「贝塞尔问题」。

※※问题9－2

若以下无穷级数收敛则求其值，若非收敛则说明之。

Σ<k=1到∞,1/k<平方>>

9．6图书室

9．6．1蒂蒂的尝试

「学长，大发现大发现。」

一如往常的图书室、一如往常的放学后，我正想开始今天的计算时，活力少女蒂蒂蹦蹦跳跳地跑了过来。

「……怎么了，蒂蒂？」

最近都一直陪蒂蒂，因此开始思考自己应该也要开始计算了。

「那个啊，昨天不是有做sinx的泰勒展开式吗，我回家思考之后，又有发现了，sinx随着x的变化会一直变成0喔，譬如……」

说着话的蒂蒂拿出自己的笔记本摊开给我看。

sinπ＝0，sin2π＝0，sin3π＝0，……，sinnnπ＝0，……

像这样，当n＝1，2，3，……的时候，sinnπ＝0。」

「是啊。」虽然这样回答，不过我有点烦了，这不是理所当然的吗？而且……

「蒂蒂，你忘了考虑n在0以下的情况，假如要广义化的话，要这样写……」

sinnnπ＝0n＝0，±1，±2，……

「哎呀，没、没错，的确也有负数。」

「还有0也是，把这个和x轴交点的图形画出来，不是马上就解决了？」

[插图：y＝sinx]

「……看来我好像一个人高兴过头了。对不起，在你忙的时候还打扰你……」

我严峻的口气让蒂蒂有点沮丧，她不只是在高兴的时候，连丧气的时候也都表现得很直接，我不好意思地连忙改口：

「那关于昨天的话题，你想到什么呢？」

「啊，不，没什么大不了的……」蒂蒂观察我的脸色小心地说。

然后……

我……

对蒂蒂的下一句话，感到无比震惊。

「我试着将sinx因式分解。」

啊？

什么？

「将sinx……『因式分解』？这是什么意思？」

「呃，就是……因为我找到很多满足sinx＝0的x。所以想将x……

sinx＝0

……打算解开这个方程式喔！」

不等我回话，蒂蒂继续说：

「今天米尔迦学姐不是说了吗？『要看出方程式的解与因式分解直接的关系』。」

确实是这样没错……不过要将sinx『因式分解』？我仔细思量话里的意义。

蒂蒂面对沉默的我接着往下说：

「就像刚才学长说的一样，当解是x＝0，±π，土2π，±3π，……的时候……

sinx＝x(x＋π)(x－π)(x＋2π)(x－2π)(x＋3π)(x－3π)……

就可以如上因式分解。」

我还没弄懂，咦？可以这样吗……？确实代入x＝nπ，的话会会变成0没错……

「不，蒂蒂，这样很奇怪，因为sinx有个很有名的极限式子。」

lim<x→0,(sinx)/x>＝1

「也就是x→0的时候，应该会令(sinx)/x→1才对，在x非常接近0的时候，就会非常接近1，不过蒂蒂的式子中，令x≠0将两边同瞬的话，就会变成下列算式。」

(sinx)/x＝(x＋π)(x－π)(x＋2π)(x－2π)(x＋3π)(x－3π)……(？)

「x－0的时候，这个式子左边的极限值虽然会是1，但是我不认为右边的极限值会是1，所以很明显是哪里出了问题。」

9．6．2何去何从

「蒂蒂也在思考贝塞尔问题吗？」

「哇！」

「啊！」

突然从背后传来的声音把我们都吓了一跳，我们完全没有发现米尔迦就站在后面。

慌张的蒂蒂把笔记本和铅笔盒都摔到桌下，笔、橡皮擦和尺的掉落声零落响起。

「不是的，米尔迦，蒂蒂不是在思考贝塞尔问题，是类似sinx的『因式分解』。」

「学长，那个……贝塞尔问题是什么啊？」蒂蒂边捡起笔边问。

我让蒂蒂看卡片，并对她说明贝塞尔问题是求正整数平方倒数和的问题，在我的卡片里是以Σ<k=1到∞,1/k<平方>>的值，在米尔迦的卡片里是以ζ(2)表现的问题，当然求值是指『收敛』的情况下。

蒂蒂听了我的说明后，表现出一副讶异的神色，这也是当然的，毕竟听到到自己完全没有思考过的问题。

这时候米尔迦捡起蒂蒂掉在桌下的笔记本，然后开始翻阅。

「喔……」

「啊，那个……」虽然蒂蒂想把笔记本拿回来，不过却被米尔迦的眼神压住而缩回了手。

「你啊……」米尔迦的视线没有离开笔记本，她对我说：「……你教蒂德菈sinx的泰勒展开式了吗？……嗯，原来如此，这也是村木老师的作战啊……不过，这边写着『一辈子都不会忘记！』是……？」

「对、对不起！」蒂蒂像是用抢的一样拿回笔记本。

「嗯……」米尔迦闭上了眼睛，像是指挥一样摆动起手指，当她变成这种状态的时候，周围的人都会保持沉默、安静地注视她，米尔迦在思考的时候，有一股吸引我们的魅力。

米尔迦睁开眼睛。

「那就从sinx的泰勒展开式开始吧。」

她一说完话就拿走我的笔和笔记本，开始写上算式。

sinx＝sinx＝＋(x<1次方>/1!)－(x<立方>/3!)＋(x<5次方>/5!)－(x<7次方>/7!)＋……sinx的泰勒展开式

「在这里令x≠0，将两边同除以x，会得到下式。这是将以『和』表示。」

(sinx)/x＝1－(x<平方>/3!)＋(x<4次方>/5!)－(x<6次方>/7!)＋……令x≠0，将两边同除以x

「然后蒂德菈思考的是下面这个方程式。」

sinx＝0

「这个方程式的解如下所示……先假定是这样。」米尔迦继续说。

x＝nπ(n＝0，±1，±2，±3，……)

「用这个解来对sinx做『因式分解』是蒂德菈的想法吧？。」

对于米尔迦突然提高语尾声调的独特问法，蒂蒂点了点头，她仍然将刚从米尔迦手中拿回来的笔记本抱在胸前，那本写着『一辈子都不会忘记！』的笔记本，以及抱着泰勒展开式的蒂蒂。

「不过，过程并不顺利，当x→0的时候(sinx)/x的极限虽然会变成1，但是我的因式分解却不行……」蒂蒂插嘴说道。

「那样的话……」米尔迦脸上浮现不怀好意的表情说：「那样的话，将sinx像这样『因式分解』呢？」

sinx＝x(1＋x/π)(1－x/π)(1＋x/2π)(1－x/2π)(1＋x/3π)(1－x/3π)……

我和蒂蒂互相对看，然后看回米尔迦写的因式分解式子，蒂蒂马上打开抱在胸前门笔记本开始计算。

「嗯，这个……确实会成立，当x＝0的时候，全部都会变成0，而且当x＝nπ的时候，因为有(1－x/nπ)这个因式存在——正题也会变成0，所以当x＝0，±π，±2π，……的时候，会使得sinx＝0了。」

我听了她的话之后也开口说：

「而且，将(sinx)/x像下面的式子表示，当x→0的时候，也会让(sinx)/x→1。」

我在蒂蒂的笔记本上写下。

(sinx)/x＝x(1＋x/π)(1－x/π)(1＋x/2π)(1－x/2π)(1＋x/3π)(1－x/3π)……

「蒂德菈……」这是米尔迦温柔却又充满力道的声音。

「蒂德菈，试着将她刚才写的(sinx)/x右边算式再简化看看。」

蒂蒂发出了「嗯」的声音之后就开始思考。

「简化……啊，真的可以，因为『两数和与差的积等于两数平方的差』，所以(1＋x/π)(1－x/π)＝1<平方>－x<平方>/π<平方>，接着可以……」蒂蒂瞄了我一眼继续写下。

(sinx)/x＝(1－x<平方>/π<平方>)(1－x<平方>/2<平方>π<平方>)(1－x<平方>/3<平方>π<平方>)……

能进行到哪呢？我如此想着。米尔迦那知道结果的话语不晓得为何让我无法冷静。米尔迦知道什么？又到了什么地步？为什么要讨论贝塞尔问题？村木老师的作战又是什么？全都是我不了解的事』不过我有预感会出现了不起的结果。

米尔迦对着思考中的我说：「现在蒂德菈将用『积』表现，因为因式分解就是将算式用积表现，另外，你所写的泰勒展开式也是同样吧用『和』表现，所以……」

米尔迦在这里停了下来，喘了口气之后继续说：「在这里将蒂德菈的『积』与你的『和』视为相等吧。」

(sinx)/x积的形式＝(sinx)/x和的形式

(1－x<平方>/π<平方>)(1－x<平方>/2<平方>π<平方>)(1－x<平方>/3<平方>π<平方>)……＝1－(x<平方>/3!)＋(x<4次方>/5!)－(x<6次方>/7!)＋……

写到这里的米尔迦仿佛偷看般将脸靠近在旁看着算式的蒂蒂，同时说出：「蒂德菈，你差不多也该发现了吧。」

蒂蒂涨红脸、缩起身体回答：「要、要发现什么啊……？」

米尔迦在原地对我们张开双手，用细微的声音说：「比较看看x<平方>的系数。」

我看着算式。

比较系数？

我瞬间计算。

比较系数！

我屏住呼吸。

难道……

厉害……这真是太厉害了。

我看向米尔迦。

米尔迦则是往蒂蒂看去。

而蒂蒂……

「咦？怎么了吗？咦、咦？」

……还是一脸困惑的表情，她似乎还没发现。

「左边的x<平方>系数是什么，蒂德菈知道吗？」米尔迦问她。

「这个……这个我知道，是无限的积吧……」

「蒂德菈，实际展开看看，现在把这个式子展开。」

(1－x<平方>/π<平方>)(1－x<平方>/2<平方>π<平方>)(1－x<平方>/3<平方>π<平方>)……

「因为有一堆π，看起来很难懂，所以把……

a＝－－x<平方>/1<平方>π<平方>，b＝－(1－x<平方>/2<平方>π<平方>)，c＝－(1－x<平方>/3<平方>π<平方>)，d＝－(1－x<平方>/4<平方>π<平方>)，……

这样定义，算式就会变成下面写的无限积。」

(1＋ax<平方>)(1＋bx<平方>)(1＋cx<平方>)(1＋dx<平方>)……

「将这个从左边开始依序展开。」

(1＋ax<平方>)(1＋bx<平方>)(1＋cx<平方>)(1＋dx<平方>)……(注意前两个因式)

＝(1＋(a＋b)x<平方>＋abx<4次方>)(1＋cx<平方>)(1＋dx<平方>)……(展开，注意现在的前两个因式)

＝(1＋(a＋b＋c)x<平方>＋(ab＋ac＋bc)x<4次方>＋abcx<6次方>)(1＋cx<平方>)(1＋dx<平方>)

「喔……好像有什么规则在里面呢。」蒂德菈边看米尔迦展开算式边。

「其实这就是今天早上说明的解与系数的关系，知道x<平方>系数的规则性了吗？」米尔迦说。

从刚才开始米尔迦就只和蒂蒂说话，展开式子的速度也比平常缓慢，或许是顾虑到要让她容易理解。

「好，我懂了，x<平方>的系数会变成a＋b＋c＋d＋……吧。」

「没错，在这个无限积中各个因式里的x<平方>系数(a，b，c，d，……)的无无限和(a＋b＋c＋d＋……)，会成为展开后的x<平方>系数，然后回到刚才『因式分解』的算式。」米尔迦继续说明。

(sinx)/x积的形式＝(sinx)/x和的形式

(1－x<平方>/π<平方>)(1－x<平方>/2<平方>π<平方>)(1－x<平方>/3<平方>π<平方>)……＝1－(x<平方>/3!)＋(x<4次方>/5!)－(x<6次方>/7!)＋……

米尔迦淡淡地说下去。

「在左边展开时，『x<平方>的系数』是右边各因式的『x<平方>系数和』，也就是a＋b＋c＋d＋……会变成－1/(1<平方>π<平方>)－1/(2<平方>π<平方>)－1/(3<平方>π<平方>)－1/(4<平方>π<平方>)－……，另一方面，右边的『x<平方>系数』则很简单易懂，考虑到目前为止的算式，将两边的x<平方>系数做比较，下面的等式就会成立。」

－1/(1<平方>π<平方>)－1/(2<平方>π<平方>)－1/(3<平方>π<平方>)－1/(4<平方>π<平方>)－……＝－1/3!

蒂蒂确认过米尔迦的等式之后说：「要将x<平方>的系数抽出来吧……好，我懂了。」

「还没发现吗？蒂德菈。」

「什、什么事啊？」蒂蒂用一双大眼睛紧张地望着。

米尔迦对蒂德菈露出笑容，仿佛在说不用那么慌张也没关系，她面对笔记本继续向蒂蒂说明：

「将式子整理之后，就变成这样。」

－1/(1<平方>π<平方>)＋1/(2<平方>π<平方>)＋1/(3<平方>π<平方>)＋1/(4<平方>π<平方>)＋……＝1/6

「将两边乘以π<平方>……」

－1/(1<平方>)＋1/(2<平方>)＋1/(3<平方>)＋1/(4<平方>)＋……＝π<平方>/6

「啊、啊啊啊啊啊啊！」

蒂蒂大声叫了出来，虽然这里是图书室，不过我能理解她想要大喊的心情。

「解开了，真的解开了！解开贝塞尔问题了！」

蒂蒂看向米尔迦，然后再看向我。

米尔迦点点头，并以吟咏般的语气说：

「解开了，贝塞尔问题已经解开了，困扰着十八世纪数学家的难题——贝塞尔问题已经获得解答了，而且还是用让人愉快的解法。」

米尔迦将式子重新改写。

Σ<k=1到∞,1/k<平方>>＝π<平方>/6

「当然也可以这样写。」她接着写上另外一种算式。

ζ(2)＝π<平方>/6

「好的，这样就告一段落了。」米尔迦歪着头竖起食指露出笑容，这是她最美的笑容。

「为、为什么！什、什么时候！太、太奇怪了！」

蒂蒂依然陷入混乱之中。

※※解答9－2(贝塞尔问题)

Σ<k=1到∞,1/k<平方>>＝π<平方>/6

9．6．3向无限的挑战

「解开问题的人是我们的老师——莱昂哈德×尤拉。他是世界上第一个解开贝塞尔问题的人，就在公元一七三五年，尤拉老师二十八岁时，也是他结婚的第二年……」米尔迦详细地描述。

我们是否超越了两世纪半的时间，重新体会尤拉的解法呢？当时的尤拉与我们不过只差十岁……而且还是结婚的第二年？

「我们解开了这个问题吗？」蒂蒂问。

「是的，尤拉老师留下好几个解开贝塞尔问题的方法，而我们再现了其中一种解法。」

「我在证明到一半的时候就已经搞不懂了，不过还是觉得非常惊讶。」蒂蒂接下去说：「我对不知不觉就解开贝塞尔问题非常惊讶，原本我只是认为既然x＝nπ是sinx＝0的解，说不定可以将sinx因分」，我觉得这是个很大的发现，不过也只能到这里为止，可是米尔迦学姐却找到其它的因式分解法，并且一下子就用比较x<平方>系数的方法把贝塞尔问题解开了。」

「然后，还有一点……」蒂蒂继续说：「我对Σ<k=1到∞,1/k<平方>>的和是π<平方>/6很震惊，为什么整数的倒数平方和会跑出π呢？」

我们陷入沉默，因为我们对身为无理数的圆周率π怎么会突然出现而感到不可思议。

「……说到这个，为什么蒂蒂的『因式分解』会行不通呢？」我提出疑问：「明明x＝nπ(n＝±1，±2，……)就是sinx/x＝0的解。」

sinx/x＝(x＋π)(x－π)(x＋2π)(x－2π)(x＋3π)(x－3π)……

而米尔迦解答了我的疑问。

「nπ确实是sinx/x＝0的解没错，但是这个『因式分解』太冗长、也太自由了。毕竟只有x＝nπ是解这个条件的话，直接乘以C倍也是分解法之一，没有唯一性。」

sinx/x＝C×(x＋π)(x－π)(x＋2π)(x－2π)(x＋3π)(x－3π)……

「嗯～～原来如此，米尔迦，lim<x→0,sinx/x>＝1的条件无法只靠这个『因式分解』表现啊。」

「没错，假如是n次多项式的话，就可以配合n次的系数调整，一般来说，最高次方项的系数都是固定的，所以可以配合调整，但无穷项式因为不知道的系数是多少，所以没办法配合最高次方项的系数，这次成功的关键在于有(x－nπ)用来配合系数，可以由因式(1－x/(nπ))的积组合出lim<x→0,sinx/x>＝1，在迈向无限之前的整合发挥了效果。」

米尔迦用手推了推眼镜继续说：

「但是严格来说，刚才的证明仍然不完全。我们为了找出sinx＝0的解，而取出图形与x轴的交点x＝nπ，但是虚数解并不会出现在与x轴的交点上，所以我们并没有讨论到虚数解的可能性，其实尤拉老师除此之外还留有数种证明方式，不过用sinx的幂级数展开来证明的手法是既漂亮又有魅力的，如同藉由比较x<平方>的系数求出ζ(2)比较x<正偶数次方>的系数也可以求出ζ(正偶数)。」

※※贝塞尔问题的解法

蒂蒂的卡片sinx＝0的解

↓↓

sinx的泰勒展开式sinx的因式分解

↓↓

sinx/x和的形式→比较x<平方>的系数←sinx/x积的形式

↓

ζ(2)＝Σ<k=1到∞,1/k<平方>>＝π<平方>/6

↓

米尔迦与我的卡片

「虽然这次做最后整理的是我，不过那是因为我已经知道尤拉老师解法的关系……」

米尔迦边说边站起身。

「虽然不是理解得很清楚，不过能想出『用方程式的解将sinx因式分解』真的是非常了不起，虽然其中还有不太严谨的部分，不过也有对无限挑战的决心。」

米尔迦将右手放到仍然坐着的蒂蒂头上。

「在对我们的老师——尤拉老师表示敬意的同时，我们也要为蒂德菈拍手。」

米尔迦开始拍手，我也站起来对蒂蒂拍手，这是只有两个人的起立喝采。

「米尔迦学姐……学长……不用这样……」

蒂蒂将两手捧住羞红的脸颊，大眼睛不断眨着。

这里是图书室，高中生的我们需要安静。

但是这些都已经不重要了。

现在……为我们的活力少女蒂蒂拍手！(无名之声：很好！一道题化解了后宫的恩怨。)

所有无穷级数的和，

就像1＋1/2<n次方>＋1/3<n次方>＋1/3<n次方>……一样，

可以用广义的型态明白地展现，

当n为偶数时，可以藉由圆周率π的帮忙表示。

实际上，这些级数和对π<n次方>的比一直是有理数。

——尤拉[25]

第10章分拆数

告白的答案在银河的终点

——小松美和[8]

10．1图书室

10．1．1分拆数

一如往常的放学后。

「我拿来了。」米尔迦边说边走进图书室，她似乎是拿到了村木老师的问题。

我和蒂蒂望向放在桌上的纸张。

(从木村老师那里得到的卡片)

假设有面额为1元、2元、3元、4元……的硬币，倘若必须支付n元，其组合方式有几种？令组合的个数为P<n>(这种支付方法称为n的分拆，分拆的个数P<n>称为n的分拆数)。

举例来说，支付3元的方法有「3元硬币1枚」、「2元硬币一枚与1元硬币1枚」、以及「1元硬币3枚」这3种方式，故P<3>＝3。

问题10－1

求P<9>。

问题10－2

P<15>＜1000是否成立？

「只是算支付的方法，应该很简单吧。」高中一年级的学妹——活力少女蒂蒂说。

「是吗？」我说。

「咦？所谓P<9>就是支付9元的状况吧，依照『使用1元硬币的状况』、『使用2元硬币的状况』……的顺序思考就可以了吧？」

「蒂蒂，并没有那么简单，因为可以使用同样的面额，所以即使是使用1元的状况，也要考虑到『使用了几枚』。」

「学长我不会一直都是不小心忘了条件的蒂德菈喔，关于枚数我很清楚，只要冷静地慢慢往上数就没问题了。」蒂蒂似乎充满自信。

「是吗？一直往上数的话会失败喔，我想用广义的解法会比较安全，而且问题10－1的P<9>先不提，问题10－2的P<15>，应该会变成『非常大的数』。」

「真的吗，学长？『非常大的数』是多大？只是支付15元的吧？」

「蒂蒂，虽然只有15元，但是组合起来的话立刻就会爆发……」

碰。

一直没有说话的米尔迦用手拍了桌子，她想仿真爆发的音效吗？

我们愕然地停下对话。

「蒂德菈到那个角落，你去窗边的位置，而我在这里，大家都不要小说话、安静地思考。」

米尔迦一声令下，蒂蒂和我都点头同意。

「知道了还不快点行动。」

……我们就在放学后的图书室里在无声地开始用功。

10．1．2思考实例

面额依正整数(1，2，3，4，……)变化的硬币，用这些硬币来支付n元，这是求支付的方法数——分拆数——的问题。

和从前一样，我先从小的数进行具体的思考，用实例来抓到感觉是很重要的。

当n＝0的时候，也就是支付金额为0的状况……只有「不支付」一种方法，方法数为1，也可以说P<0>＝1。

P<0>＝1支付0元的方法有1种

当n＝1的时候……只有「使用1个1元」一种方法，所以P<1>＝1。

P<1>＝1支付1元的方法有1种

当n＝2的时候……有「使用1个2元」与「使用2个1元」的方法，所以P<2>＝2。

P<2>＝2支付2元的方法有2种

当n＝3的时候……有「使用1个3元」与「使用1个2元、1个1元」与「使用3个1元」3种方法。

由于再这样写下去太麻烦，所以「使用1个2元、1个1元」这种方法，就用2＋1表现，也就是这种写法。

2＋1(2元用1枚，1元用一枚)

当n＝3时有以下的3种方法。

3＝3

＝2＋1

＝1＋1＋1

等同于P<3>＝3。

P<3>＝3支付3元的方法有3种

唔，所谓的P<3>虽然是「支付3元的方法数」，不过也可以说成「将3分拆成数个正整数的方法数」，所以才被命名为「分拆数」吧。

n＝4的话，如下有5种，一共5个分拆，嗯，我已经抓到诀窍了

4＝4

＝3＋1

＝2＋2

＝2＋1＋1

＝1＋1＋1＋1

P<4>＝5支付4元的方法有5种

n＝5的话……有以下7种。

5＝5

＝4＋1

＝3＋2

＝3＋1＋1

＝2＋2＋1

＝2＋1＋1＋1

＝1＋1＋1＋1＋1

P<5>＝7支付5元的方法有7种

像这样让n逐渐变大时，就能稍微发现一些规则，数字倘若不够大，要找出规则性就不容易，以前米尔迦说过「少量的样本不容易发现规则」，但是数字增加得太大，具体举例就会变得困难。

继续下去吧，令n＝6，有以下11种表现方法。

6＝6

＝5＋1

＝4＋2

＝4＋1＋1

＝3＋3

＝3＋2＋1

＝3＋1＋1＋1

＝2＋2＋2

＝2＋2＋1＋1

＝2＋1＋1＋1＋1

＝1＋1＋1＋1＋1＋1

P<6>＝11支付6元的方法有11种

嗯，P<2>，P<3>，P<4>，P<5>，P<6>＝2，3，5，7，11，是和质数有关的规律吗？

P<7>会是13吗？

7＝7

＝6＋1

＝5＋2

＝5＋1＋1

＝4＋3

＝4＋2＋1

＝4＋1＋1＋1

＝3＋3＋1

＝3＋2＋2

＝3＋2＋1＋1

＝3＋1＋1＋1＋1

＝2＋2＋2＋1

＝2＋2＋1＋1＋1

＝2＋1＋1＋1＋1＋1

＝1＋1＋1＋1＋1＋1＋1

P<7>＝15支付7元的方法有15种

P<7>有15种，可惜不是质数。

而且也开始快速增加了，这样下去，当n＝8与n＝9的时候没问题吗？会不会算错啊，不，与其担心这个，不如继续尝试。

n＝8的状况。

8＝8

＝7＋1

＝6＋2

＝6＋1＋1

＝5＋3

＝5＋2＋1

＝5＋1＋1＋1

＝4＋4

＝4＋3＋1

＝4＋2＋2

＝4＋2＋1＋1

＝4＋1＋1＋1＋1

＝3＋3＋2

＝3＋3＋1＋1

＝3＋2＋2＋1

＝3＋2＋1＋1＋1

＝3＋1＋1＋1＋1＋1

＝2＋2＋2＋2

＝2＋2＋2＋1＋1

＝2＋2＋1＋1＋1＋1

＝2＋1＋1＋1＋1＋1＋1

＝1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1

P<8>＝22支付8元的方法有22种

终于到n＝9了。

9＝9

＝8＋1

＝7＋2

＝7＋1＋1

＝6＋3

＝6＋2＋1

＝6＋1＋1＋1

＝5＋4

＝5＋3＋1

＝5＋2＋2

＝5＋2＋1＋1

＝5＋1＋1＋1＋1

＝4＋4＋1

＝4＋3＋2

＝4＋3＋1＋1

＝4＋2＋2＋1

＝4＋2＋1＋1＋1

＝4＋1＋1＋1＋1＋1

＝3＋3＋3

＝3＋3＋2＋1

＝3＋3＋1＋1＋1

＝3＋2＋2＋2

＝3＋2＋2＋1＋1

＝3＋2＋1＋1＋1＋1

＝3＋1＋1＋1＋1＋1＋1

＝2＋2＋2＋2＋1

＝2＋2＋2＋1＋1＋1

＝2＋2＋1＋1＋1＋1＋1

＝2＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1

＝1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1

P<9>＝30支付9元的方法有30种

嗯，这样村木老师的问题10－1就解决了，付9元的方法有30种，9的分拆数是30。

那10－2该怎么办呢？就算硬数P<15>想必也是『非常大的数』，还是应该求P<n>的一般项吧。

「现在是闭校时间。」

瑞谷老师出现了！已经这么晚了啊。

瑞谷老师是会定时出现的管理员老师，她会带着无法判断视线方向的深色眼镜，像机器人一样走到图书馆的中央宣布时间到了。

总之先到这里……已经知道问题10－1的答案是P<9>＝30了，不过还不知道问题10－2的答案。

※※解答10－1

P<9>＝30

10．2回去的路上

10．2．1斐波那契手势

我们三个人走在往车站的路上。

蒂蒂摆出一副像是要猜拳的动作。

「你在做什么？」我问。

「斐波那契手势。」

「那是什么？」

「也难怪学长不知道，因为这是我想出来的手势。」

「……？」

「这个就是代表『我非常喜欢数学！』的意思，是爱好数学的人打招呼的方式，无论是在见面或道别时都可以使用喔。因为是手势，所以即使语言不通，或是隔了一些距离的时候也可以传达给对方知道。很厉害害吧。」

蒂德菈露出一副得意的样子。

「那来试试看吧。」

蒂蒂将手伸到我的鼻子前面，连续摆动了四次。

「知道了吗？」

「……知道什么？」

「要仔细看手指比的数字，是1，1，2，3这样子增加唷。」

蒂蒂又再重新比了一次，手指数的确是1，1，2，3逐渐增加……然

「然后看到斐波那契手势的时候就要比出猜拳的布来响应。因为1，1，2，3的下一个是5，用手指比出斐波那契数列，这就是斐波那势。」

「……啊，是喔。米尔迦，关于刚才的P<9>……」

「啊、啊～～学长，不要忽视我啊～～」

我看向米尔迦，她的手指也在跟着比划。

「……咦？连米尔迦也在做手势，你到底在做什么啊？」我有点无力地发问。

「斐波那契手势。不过蒂德菈，5以后要怎么办？用两手来做出3＋5＝8吗？假如斐波那契手势继续下去的话，全世界的人的手都不够用唷。」米尔迦说。

「不，到5就停了。那就一起来比吧，我比出1，1，2，3的话，就要回应5喔……一、一、二、三……来～～」

米尔迦笑着伸出手。

……真让人觉得不好意思，我们又不是小学生。

不过蒂蒂仍然竖起三根手指并用大大的眼睛凝视我，真是拿她没办法，我只好伸出手回应。

「……五。」

「好～～谢谢。」

活力少女今天也是精神饱满。

10．2．2分组

我们走到了大马路旁，因为护栏让道路变得狭小，所以我们按照蒂蒂、我、米尔迦的顺序排成一列前进，蒂蒂不断地转头说话似乎有点危险，而我对于米尔迦站在我的身后，总觉得不太自在。

「问题10－1是手的运动，问题10－2就是脑的运动了。」米尔迦说。

蒂蒂转头说：「我已经完成问题10－1了，现在正在算问题10－2，实际写P<15>的时候才知道『非常大的数』是什么意思，个数突然膨胀起来了，虽然写到了50种，仍然没有结束，但是我想绝对不会超过1000种。」

「蒂蒂，看前面看前面，要小心前面的电线杆。」

「没问题的，学长，话说回来，P<9>是29种吧？」蒂蒂把笔记本对着我们打开。

①×8②＋⑦①×2＋⑦

③＋⑥①＋②＋⑥①×3＋⑥

④＋⑤①＋③＋⑤①×2＋⑤

①×2＋②＋⑤①×4＋⑤①＋④×2

①×2＋③＋④①＋②×2＋④①×3＋②＋④

①×5＋④③×3①＋②＋③×2

①×3＋③×2②×3＋③①×2＋②×2＋③

①×4＋②＋③①×6＋③①＋②×４

①×3＋②×3①×5＋②×2①×7＋②

①×⑨⑨

咦……29种？不是30种吗？

「这要怎么看？」我问。

「啊，就跟你看到的一样，像这个①×3，就是支付1元硬币3个的意思。」

「喔，原来如此，写法还真多。」

「没有②＋③＋④。」米尔迦越过我的肩膀看着笔记本点出问题，她的长发碰到我，同时传来淡淡的果香。

「唉呀，我明明确认了好几次……好痛！」蒂蒂的头撞到广告牌，我刚刚不是才提醒过……

车站到了。

「那我就先走了，明天见。」米尔迦轻轻地敲了一下蒂蒂的头身离开，她的路线和我们刚好相反。

「啊～～米尔迦学姐走了……我还在想可以用斐波那契手势向她的……」蒂蒂嘟起嘴，不断地动起指头。

这时候米尔迦举起右手，将五根手指在空中挥舞，她没有放慢速度，也没有回头。

10．3『Beans』

在蒂蒂提议要不要去喝杯咖啡后，我们就来到了车站前的『Beans』，她今天坐在我对面的位置上。

蒂蒂将牛奶加入咖啡后就只是在发呆，也忘了用汤匙搅拌，她似乎和平常有点不太一样，接着还说出像是自言自语的话。

「我也希望数学能变得更好一点，虽然没有忘记条件很重要，不过只有这样还是不行，真辛苦，想单纯用手算出P<15>，可是P<15>看起来是个『非常大的数』……」

她叹了一口气。

「啊～～学长的心里有没有我的位置呢……」

「咦？」

「咦？」蒂蒂的脸越来越红，「我刚才说出口了吗？啊，刚才的不算！不对，也不是不算！啊～～真是的。」

她的两只手在脸前晃来晃去，这不是斐波那契手势。

过了一会儿……

蒂蒂低下头缓缓道出：

「……学长国中三年级的时候，也就是我国中二年级时，学长在校庆的时候有发表过论题吧，是关于二进制的论题。在发表的最后，学长说了『数学是超越时间的』，历史上有许多数学家研究过二进制，于是才有现代计算机的诞生，而『数学是超越时间的』这句词组也留在我的心里，举例来说，在十七世纪研究二进制的莱布尼兹并不晓得二十一世纪有电脑的事，虽然他已经去世了，但是数学却超越了时间活着，并传达给现代的人……我从学长的话里感受到这件事情，啊，没错，我真心地认为觉得数学是可以超越时间的。」

……这么说起来，我好像有发表这种论题。

「学长当时放学后都会到图书间去吧，校庆之后，因为想要更接近学长，我也开始会去图书间……我就在图书间的角落看书，但是学长都一直忙着计算，完全没注意到我，也因为这样，那年冬天我获得了最常利用图书间的奖。」

她抬起头露出不好意思的笑容。

唔……我真的没注意到，我一直以为这个没人会来的图书间只有我一个人。

「当我……知道能和学长进同一个高中的时候，真的很高兴，能下定决心写信给学长真是太好了，我非常喜欢你叫我『蒂蒂』，当你说出『蒂蒂好厉害』的时候，我真的觉得好像做什么都会成功，而且学长也带我去了天文台……能跟学长还有米尔迦学姐一起讨论数学，让我非常快乐。」

……这么说起来，我们是有去过天文台没错。

「不过……我也有垂头丧气的时候，虽然能和学长互相讨论，但是自己一个人却什么都做不到，像今天我就失败了。」

嗯……我能懂你的心情，我看着米尔迦时也是一样的感觉。

「我的位置……学长的心里有我的位置吗？对学长而言，我可能只是一个蹦蹦跳跳的学妹而已，在学长的心里是否有我的位置呢？就算只是偶尔愿意教教我数学也可以……」

在我的心中某个看不见的领域……为了蒂蒂而存在的领域……

我开口说：

「嗯，无论什么时候都有。我喜欢和蒂蒂说话，我很佩服你的率直和理解能力，就像以前在『学仓』答应的一样，我任何时候都可以教你数学。嗯，与你的约定并没有改变……而且我也是只有自己一个人就什么都做不到，国中的时候在图书间计算虽然有趣，但是我现在更快乐，因为有能和我自由讨论数学的人……在我的心里，属于蒂蒂的位置一直都在，对我来说，你是我很重要的朋友。」（JoyJ：于是是朋友啊……）

「停～～」蒂蒂向我伸出右手、伸出她的五根手指。「谢、谢谢，我非常高兴。但是我似乎说得太超过了，所以到此为止。」

蜿蜒的道路盘旋在空间之中。

啊，原来如此，每次在回家的路上，蒂蒂会慢慢走的理由……

她……希望扩大和我一起分享的领域。

在这个高中生活中有限的时空里。

10．4自家

自家。

电子钟上显示着23点59分，23和59都是质数。（JoyJ：……）

家人都睡了，我在房间里算着数学，这是我最幸福的时刻。

家人对于我在挑战什么样的算式没有兴趣，就算完成有趣的算式变化、很高兴地和他们说明，也只会得到一句「好厉害」而已。

朋友是很珍贵的，米尔迦与蒂蒂可以和我一起面对问题、一起解决、一起检讨，穷尽知识与其对战、研讨解法，谈话之中有着名为的共通语言……我喜欢这样的时间，这和国中时在图书间度过的时不同，那时候只有我一个人在计算……不对不对，在那个时候的那个地方，蒂蒂或许也在吧……

……继续演算村木老师的问题吧，思考分拆数P<n>，来挑战是否能用生成函数解出P<15><1000成立与否的问题10－2。

所谓生成函数，就是使用x的乘幂将数列全部的项结合到一个函数中，在此之前，我和米尔迦曾经使用生成函数求出斐波那契数列与卡塔兰数的一般项，这次的P<n>是否也能用生成函数来找出一般项呢？只要能找出一般项P<n>的『对n的闭公式』，就能迅速解开问题10－2了。

将目前为止知道的P<n>做整理。

n0123456789……

P<n>11235711152230……

将这个数列的生成函数设为P(x)×P(x)的定义如下，这同时是生成函数的的定义。

P(x)＝P<0>x<0次方>＋P<1>x<1次方>＋P<2>x<平方>＋P<3>x<立方>＋P<4>x<4次方>＋P<5>x<5次方>＋……

将P<0>，P<1>，……的值实际代入，由于n次的系数为P<n>，所以会变成下面的式子……

P(x)＝1x<0次方>＋1x<1次方>＋2x<平方>＋3x<立方>＋5x<4次方>＋7x<5次方>＋……

为了不让各项混在一起而假设出形式上的变量x，将数列以系数的形态拥抱在名为生成函数的母亲怀里。

接着下一步是求出生成函数的『对x的闭公式』。

在求斐波那契数列F<n>的时候，是用递推公式来求闭公式，以x将P(x)的系数做转换，真是令人怀念。

求卡塔兰数C<n>时，是用生成函数的积求出闭公式，也体会到『平分』的乐趣。

分拆数P<n>又是如何呢？而且也不是求出生成函数之后，问题就会像魔法一样解开，有必要找出关于这个数列的本质。

继续研究分拆数的生成函数吧，夜晚还很漫长。

10．4．1为了选出来

我在房间里绕着圈子思考，虽然动手调查具体的数字很重要，但这样下去只会让组合的数字爆发而已。在变成『超级大的数』之前，必须跳到广义的解法，也就是米尔迦口中「脑的运动」。思考，思考吧。

……我打开窗户呼吸着夜晚的空气，听着远方传来的狗叫声……为什么我会喜欢数学呢？数学到底又是什么呢？米尔迦是这么说的：

「如康托尔所说『数学的本质是自由』，尤拉老师是自由的，他将无限大或无限小的概念灵活运用在自己的研究上，无论是圆周率的π，虚数单位的i，或是自然对数的底e，都是尤拉老师开始使用的文字，老师在当时无法横渡的河上架一座桥，就像在柯尼斯堡上架设新桥一样。」

桥……我能在未来的某处架设出一道新的桥吗？

稍微脱离生成函数来思考看看，自己是不是曾经有解过类似的问题呢？回想起来、回想起来……

『……对不起，我记不住。』

『……不对，不是要记起来，而是要思考、思考。』

似乎和蒂蒂曾经有过这种互动呢，发现自己把『思考很重要』这件事情『记起来』后，我笑了，思考虽然很重要，回想也是一样啊。

和蒂蒂的对话是在演算二项式定理的时候，将(x＋y)<n次方>展开后，会出现组合的数，这让蒂蒂十分惊讶，也让她知道()<n,k>和<组合,n,k>是同样的意思。

(x＋y)将变为n次方时，会从n个(x＋y)因式中各自选出x或y，然后成为x与y积的项，整合同类项之后，就是选出的方法数。

例如(x＋y)3展开的时候，从x与y的各因式中提出3个，就会产生下面8个项。

(<x>＋y)＋(<x>＋y)＋(<x>＋y)＝xxx＝x<立方>

(<x>＋y)＋(<x>＋y)＋(x＋<y>)＝xxy＝x<平方>y

(<x>＋y)＋(x＋<y>)＋(<x>＋y)＝xyx＝x<平方>y

(<x>＋y)＋(x＋<y>)＋(x＋<y>)＝xyy＝xy<平方>

(x＋<y>)＋(<x>＋y)＋(<x>＋y)＝yxx＝x<平方>y

(x＋<y>)＋(<x>＋y)＋(x＋<y>)＝yxy＝xy<平方>

(x＋<y>)＋(x＋<y>)＋(<x>＋y)＝yyx＝xy<平方>

(x＋<y>)＋(x＋<y>)＋(x＋<y>)＝yyy＝y<立方>

将这些全部加起来『整合同类项』之后，就成为积的展开。

(x＋y)(x＋y)(x＋y)＝1x<立方>y<0次方>＋3x<平方>y<1次方>＋3x<1次方>y<平方>＋1x<0次方>y<立方>

系数的1，3，3，1就是符合选出3个x、2个x、1个x、0个x的方法数，也就是说，将系数以表示的话，会成为下式。

(x＋y)(x＋y)(x＋y)＝()<3,3>x<立方>＋()<3,2>x<平方>y<1次方>＋()<3,1>x<1次方>y<平方>＋()<3,0>y<立方>

回想到这里，脑海中浮现出蒂蒂佩服的脸，让绕着房间走的我停下脚步。

咦？

好像有什么很重要的地方让我在意。

『蒂蒂佩服的脸。』……不，在更前面。

『不是要记起来，而是要思考。』……在这之后。

『依照选的方法数产生系数。』……。就是这个。

依照选的方法数产生系数。

用蒂蒂的分类方法——从因式中选出——嗯，有关系，一定和分拆数的生成函数有关，将算式当成无限和的无限积就好了，我知道了。

『知道了还不快点行动。』米尔迦的声音在我的心中响起。

我急忙开始计算，由于是无限积，所以不能称为『对x的闭公式』，不过应该可以得到积形式的生成函数P(x)。

……深夜的自家中，我安静地开始用功。

※※问题10－3(我设定的问题)

令分拆数的生成函数P(x)，求出积形式的P(x)。

10．5音乐教室

隔天。

在放学后的音乐教室，英英、我、还有米尔迦三个人在聊天。

「『必读尤拉』？我们这里是说『必弹巴哈』。」

英英一边用平台钢琴弹着歌德堡变奏曲一边聊天，她同样是高中二年级，虽然同学年，却跟我和米尔迦不同班级，她是钢琴社团『极强音』的社长，是个非常喜欢钢琴键盘的少女。

「嗯，巴哈不错。」米尔迦微笑地将手背在背后，配合音乐一步一步地绕着音乐教室享受气氛，她的心情似乎很好。

「不过今天蒂德菈儿没来吗？不是不管你在哪她都会出现吗？英英边演奏边对我说。

蒂德菈儿？

「她并没有特别跟着我吧。」我回答。

刚好这个时候，抱着笔记本的蒂蒂进入音乐教室。

「啊，学长在这里啊，我还在想学长不在图书室会去哪里呢。」

(这不是很认真地跟在后面吗？)英英小声地说。

「打扰到你们了吗？」蒂德菈看看我们。

「不会，蒂蒂，我们也没有在做什么。」我说。

「要听我感人的演奏吗？」

「好的好的……啊，对了。」我说：「蒂蒂来了正好，大家要不要听一下我昨晚的数学成果，米尔迦，我可以写出分拆数的式子吧。」

「是求一般项P<n>的闭公式吗？」米尔迦突然停下脚步，用严峻的眼神看着我问。

「不，不是，不是求一般项P<n>的闭公式，我算出了生成函数P(x)的无限积形式。」我回答她。

「那就好。」米尔迦再度恢复笑容。

「使用前面的黑板吧。」

我走到音乐教室前面，移动滑动式黑板做好准备，米尔迦和蒂蒂也靠近我。

英英说出「哎呀，要开始算数学了」后，弹钢琴的手就停了下来。

10．5．1我的发表(分拆数的生成函数)

「为了解开问题10－2，我采取的方式是求分拆数数P<n>的一般项，为此先从求生成函数P(x)开始，生成函数P(x)如下。」

P(x)＝P<0>x<0次方>＋P<1>x<1次方>＋P<2>x<平方>＋P<3>x<立方>＋P<4>x<4次方>＋P<5>x<5次方>＋……

「这是原本的定义，我自己设定了『找出积形式的生成函数P(x)』，把这当成是问题10－3，不过在解问题10－3之前为了方便说明，先来想想下面的问题10－4，就是加上硬币枚数与种类限制的『附加条件的分拆数』。」

※※问题10－4『附加条件的分拆数』

1元硬币、2元硬币、3元硬币各有1枚，请问3元的方法有几种。

「问题10－4并不难。将硬币限制为1、2、3元硬币3种，而且各只有1枚，要支付3元就只有『1元硬币与2元硬币』与『3元硬币』2种方法，这就是答案。」

※※解答10－4

两种方法。

「然后用问题10－4来说明生成函数，将使用各种硬币支付的金额如下列表。」

使用①所支付的金额，是0元或1元。

使用②所支付的金额，是0元或2元。

使用③所支付的金额，是0元或3元。

「在这里用下面的式子思考，使用形式上的变量x，将指数部分以『支付金额』表现，为了方便理解，把1写作x<0次方>。」

(x<0次方>＋x<1次方>)(x<0次方>＋x<平方>)(x<0次方>＋x<立方>)

「原来如此，很有趣。」米尔迦说。

「是啊。」我微笑回复。

「米尔迦学姐，『原来如此』是什么意思？学长，『是啊』又是什么意思呢？我完全不懂，哥哥姐姐要按照顺序说明啦～～」蒂蒂开始抱怨，她才说完，英英的钢琴就响起喜剧的配乐。

「继续下去吧。」米尔迦说。

「蒂蒂，刚才的式子要这样看……」我对她说。

(x<0次方>＋x<1次方>)(x<0次方>＋x<平方>)(x<0次方>＋x<立方>)

①的部分②的部分③的部分

「展开的话意义就很清楚了，这是将各硬币在各种支付状况中形变成指数，而且以各项表示所有支付的可能性。」

(x<0次方>＋x<1次方>)(x<0次方>＋x<平方>)(x<0次方>＋x<立方>)＝x<0＋0＋0次方>

＋x<0＋0＋3次方>

＋x<0＋2＋0次方>

＋x<0＋2＋3次方>

＋x<1＋0＋0次方>

＋x<1＋0＋3次方>

＋x<1＋1＋0次方>

＋x<1＋2＋3次方>

「譬如说，x<1＋2＋0次方>这项的指数1＋2＋0可以像下面这样解读。」

1→使用①支付的金额为1元

2→使用②支付的金额为2元

0→使用③支付的金额为0元

「……学长，请等一下，我还是不懂x<1＋2＋0次方>的意思，假如要①1枚、②1枚、③0枚的话，指数不要用1＋2＋0改用1＋1＋0不是比较好吗？」专注在式子上的蒂蒂用认真的表情发问。

「不是的，在这里不是『k元硬币的枚数』，而是要用『以k元硬币支付的金额』来想。」

「我的话会称为『k元硬币的贡献度』。」米尔迦提出建议。

「学长，我稍微懂了，的确展开式子后的x指数，就可以知道用①与②与③支付的所有可能性……呃，不过真不可思议，为什么一定要用(x<0次方>＋x<1次方>)(x<0次方>＋x<平方>)(x<0次方>＋x<立方>)这个式子呢？」

「这是因为(x<0次方>＋x<1次方>)(x<0次方>＋x<平方>)(x<0次方>＋x<立方>)『式子的展开方法』和『支付方法的所有可能性』刚好一致的关系，展开的时候会如下产生各项。」-

从x<0次方>＋x<1次方>选出一项-

从x<0次方>＋x<平方>选出一项-

从x<0次方>＋x<立方>选出一项，做出积

「这样做的话，就和下面的支付方法是一样的思考方式。」-

选出用①来支付的金额-

选出用②来支付的金额-

选出用③来支付的金额，做出和。

「啊，原来如此，我懂了。为了做出全部的组合，就利用式子展开的乘法分配吧……嘿～～」蒂蒂似乎能接受了。

我继续说明下去。

「展开的式子整理后会变成下面的算式，将同样有xk的项集中依照指数从小到大排列，也就是整合同类项。」

(x<0次方>＋x<1次方>)(x<0次方>＋x<平方>)(x<0次方>＋x<立方>)式子

＝x<0＋0＋0次方>＋x<0＋0＋3次方>＋x<0＋2＋0次方>＋x<0＋2＋3次方>展开

＋x<1＋0＋0次方>＋x<1＋0＋3次方>＋x<1＋1＋0次方>＋x<1＋2＋3次方>

＝x<0次方>＋x<立方>＋x<平方>＋x<5次方>＋x<1次方>＋x<4次方>＋x<立方>＋x<6次方>计算指数

＝x<0次方>＋x<1次方>＋x<平方>＋2x<立方>＋x<4次方>＋x<5次方>＋x<6次方>整合同类项，并按指数顺序排列

「蒂蒂，x<立方>的系数是2喔。你知道这代表什么意思吗？」

「嗯，系数是2的话……就是成为x<立方>的项有2个。实际上就是与……原来如此，我知道了，x<立方>的系数是2的意思，就是表示支付金额为3的时候有2种方法。」

「就是这样，将蒂蒂你现在说的再想一下。在我们面前的是使用形式变量x的乘幂和，然后x<n次方>的系数就是『支付金额为n的的方法数』。那『支付金额为n的的方法数』是什么呢？」

「『支付金额为n的的方法数』……啊，是分拆数！」

「是的，这个问题10－－4将硬币的枚数与种类加上限制，与村木老师的问题10－1和10－2出现的分拆数不同，不过却很相似，使用形式数x的乘幂和，其系数会变成『支付金额为n的的方法数』——这无疑是生成函数，也就是说，(x<0次方>＋x<1次方>)(x<0次方>＋x<平方>)(x<0次方>＋x<立方>)这个式子就是『加上限制的分拆数』的生成函数。」

※※问题10－4的『加上限制的分拆数』的生成函数

(x<0次方>＋x<1次方>)(x<0次方>＋x<平方>)(x<0次方>＋x<立方>)

「原来如此……说到生成函数，就会想到很复杂的无穷级数，不过也是有像(x<0次方>＋x<1次方>)(x<0次方>＋x<平方>)(x<0次方>＋x<立方>)一样，用小小的有限积做出的生成函数啊，迷你迷你生成函数……」蒂蒂做出了捏饭团的姿势。

「那么……」我继续说下去。

◎◎◎

那么，到这里为止是『有限制的分拆数』，现在开始要解除硬币数与种类的限制，不过讨论的方向仍然一样，然而已经不是像(x<0次方>＋x<1次方>)(x<0次方>＋x<平方>)(x<0次方>＋x<立方>)的『有限和的有限积』，而是像下面算式的『无限和的无限积』。

(x<0次方>＋x<1次方>＋x<平方>＋x<立方>＋……)①的贡献度

×(x<0次方>＋x<平方>＋x<4次方>＋x<6次方>＋……)②的贡献度

×(x<0次方>＋x<立方>＋x<6次方>＋x<9次方>＋……)③的贡献度

×(x<0次方>＋x<4次方>＋x<8次方>＋x<12次方>＋……)④的贡献度

×……

×(x<0k次方>＋x<1k次方>＋x<2k次方>k＋x<3k次方>＋……)的贡献度

×……

无限和可以让硬币的枚数不受限制。

无限积可以让硬币的种类不受限制。

常这个无限和的无限积展开时，支付方式的可能性就会一口气出现，取积之后整理同类项，调查x<n次方>的项，可以发现x<n次方>的系数就是n的分拆数，这是因为x<n次方>的系数与『支付n元』的方法数相同。

『将系数变为分拆数的形式幂级数』——也就是上面所写的无限和的无限积为『分拆数的生成函数』，那P(x)就可以写作下面这样。

P(x)＝(x<0次方>＋x<1次方>＋x<平方>＋x<立方>＋……)

×(x<0次方>＋x<平方>＋x<4次方>＋x<6次方>＋……)

×(x<0次方>＋x<立方>＋x<6次方>＋x<9次方>＋……)

×(x<0次方>＋x<4次方>＋x<8次方>＋x<12次方>＋……)

×……

×(x<0k次方>＋x<1k次方>＋x<2k次方>＋x<3k次方>＋……)

×……

接着转换视点，将形式变量x设定成0≤x＜1范围里的实数，然后用等比级数的求和公式，于是k元硬币的贡献度就会变成下面的分数。

x<0k次方>＋x<1k次方>＋x<2k次方>＋x<3k次方>＋……＝1/(1-x<k次方>)

由P(x)展开得来的无限和全部都可以用这个公式变成分数。

P(x)＝1/(1-x<1次方>)

×1/(1-x<平方>)

×1/(1-x<立方>)

×1/(1-x<4次方>)

×……

×1/(1-x<k次方>)

×……

这样『无限和的无限积』就变成了『分数的无限积』，这就是变成积形式的生成函数P(x)，将×以×表示。

※※解答10－3(拆分数P<n>的生成函数P(x)『积形式』)

P(x)＝1/(1-x<1次方>)×1/(1-x<平方>)×1/(1-x<立方>)……

整理一下到目前为止的部分，我为了解出木村老师的问题，也就是求P<15>而想要求出一般项P<n>，然后为了抓住P<n>的生成函数P(x)而设定问题10－3，结果上面解答10－3所示，已经求到了积形式的生成函数P(x)。

接下来我要思考下一个问题X。

问题X

函数P(x)幂级数展开x<n次方>的系数为何？

P(x)＝1/(1-x<1次方>)×1/(1-x<平方>)×1/(1-x<立方>)……

x<n次方>的系数就是P<n>，从求一般项P<n>，来讨论问题10－2的不等式P<15>＜1000。

※※『求分拆数的一般项』的旅行地图

分拆数→生成函数P(x)

↓问题10-3

分拆数的一般项P<n>←积形式的生成函数P(x)

问题X

到这里我停下讲解。

◎◎◎

「你打算从正面突破吧。」米尔迦立刻接在我之后说。

「没错。」

「嗯，不过，只是要证明问题10－2的不等式，不用非得求出P<n>……对吧？」米尔迦说。

「嗯……理论上……是这样没错……」我变得有点不安。

「我这样说，是因为我不用求一般项P<n>，也不用求P<15>，就能解答题10－2。」米尔迦淡淡地说。

「咦？」

10．5．2米尔迦的发表(分拆数的上界)

「要证明问题10－2的不等式，并不是非得求出P<15>不可。」

米尔迦边说边站到黑板的前面，取代了我的位置。

「就如同蒂德菈所说的『非常大的数』，分拆数P<n>是以急遽的速度在增加的函数，而现在我想先调查分拆数P<n>的上界。」

「什么是上界？」蒂德菈马上发问。

「上界就是对任意整数n≥0满足P<n>≤M(n)的函数M(n)。当n变大时，P<n>虽然也会跟着变大，但是却不会大于M(n)，这就是M(n)的意义，上界有无数个，不局限于一种。」

「上方的界线，是这意思吗？」蒂蒂将手放在头上。

「没错，上界这个用语虽然是用在定数上，但是在这里并非定数。M(n)可以说是n的函数。观察P<0>，P<1>，P<2>，P<3>，P<4>之后，就可以发现他们等于斐波那契数的F<1>，F<2>，F<3>，F<4>，F<5>。」

P<0>＝F<1>＝1

P<1>＝F<2>＝1

P<2>＝F<3>＝2

P<3>＝F<4>＝3

P<4>＝F<5>＝5

米尔迦用手比出1，1，2，3，然后在5停了下来。

「但是很可惜P<5>并不等于F<6>。因为P<5>＝7，F<6>＝8所以……

P<5>＜F<6>

我在这里推测P<n>＝F<n＋1>的这个等式虽然不成立，但是……

P<n>≤F<n＋1>

这个不等式或许会成立，接着我实际证明出它确实会成立，也就是上界M(n)＝F<n＋1>，证明方法则是用数学归纳法。」

◎◎◎

※※根据斐波那契数找出分拆数P<n>的上界

令分拆数为P<n>＝1，1，2，3，5，7，……，斐波那契数列Fn＝0，1，1，2，3，5，8……，这时对所有整数n≥0，下式成立。

P<n>≤F<n＋1>

使用数学归纳法证明。

首先，n＝0与n＝1时P<n>≤F<n＋1>成立。

而后证明对任意整数k≥0……

P<k>≤F<k＋1>P<k＋1>≤F<k＋2>P<k＋2>≤F<k＋3>

成立即可。

证明过程如下：

×因为P<0>≤F<1>与P<1>≤F<2>，所以P<2>≤F<3>。

×因为P<1>≤F<2>与P<2>≤F<3>，所以P<3>≤F<4>。

×因为P<2>≤F<3>与P<3>≤F<4>，所以P<4>≤F<5>。

×因为P<3>≤F<4>与P<4>≤F<5>，所以P<5>≤F<6>……

也就是说，对任意整数n≥0，P<n>≤F<n＋1>成立……以上是对数学归纳法的解说，这是为了头上冒出一个大问号的蒂德菈所做的说明。

现在假设提出『支付k＋2元的方法」，依照此支付方法使用的最小硬币面额来分的话，有以下3种情形。

(1)硬币最小面额为①的情形。

(2)硬币最小面额为②的情形。

(3)硬币最小面额为③以上的情形。

之后，依照以下操作，将『支付k＋2元的方法』变化成『支付k＋1元的方法』，或是变成『支付k元的方法』。

(1)在硬币最小面额为①的情形，将①除去1枚。则剩下的硬币会变成『支付k＋1元的方法』。

(2)在硬币最小面额为②的情形，将②除去1枚。则剩下的硬币会变成『支付k元的方法』，且此支付方法之最小硬币面额不会是①。

(3)在硬币最小面额为②以上的情形，将最小硬币面额设为<m>，然后将1枚<m>硬币如下置换。

②＋①＋①＋……

①共(m-2)个

于置换后取出1枚②，则剩下的硬币就会变成『支付k元的方法』，且此支付方法之最小硬币面额不会是①。

简单来说，依照上述操作可将任何『支付k＋2元的方法』变成『支付k＋1元的方法』或是『支付k元的方法』。此时，这些支付方法会全部相异，也就是说，这些支付方法并不会彼此冲突。

或许有点难懂，将k＋2＝9的分拆数具体地操作一次的话，就会像下表一样，拿掉的硬币以双线划掉，置换的部分以<>表示，许多1的部分则以……省略。

P<9>

9

8＋1

7＋2

7＋1＋1

6＋3

6＋2＋1

6＋1＋1＋1

5＋4

5＋3＋1

5＋2＋2

5＋2＋1＋1

5＋1＋1＋1＋1

4＋4＋1

4＋3＋2

4＋3＋1＋1

4＋2＋2＋1

4＋2＋1＋1＋1

4＋1＋…＋1＋1

3＋3＋3

3＋3＋2＋1

3＋3＋1＋1＋1

3＋2＋2＋2

3＋2＋2＋1＋1

3＋2＋1＋1＋1＋1

3＋1＋…＋1＋1

2＋2＋2＋2＋1

2＋2＋2＋1＋1＋1

2＋2＋1＋…＋1＋1

2＋1＋…＋1＋1

1＋…＋1＋1

(1)P<8>的部分

8＋<删除线1>

7＋1＋<删除线1>

6＋2＋<删除线1>

6＋1＋1＋<删除线1>

5＋3＋<删除线1>

5＋2＋1＋<删除线1>

5＋1＋1＋1＋<删除线1>

4＋4＋<删除线1>

4＋3＋1＋<删除线1>

4＋2＋2＋<删除线1>

4＋2＋1＋1＋<删除线1>

4＋1＋…＋1＋<删除线1>

3＋3＋2＋<删除线1>

3＋3＋1＋1＋<删除线1>

3＋2＋2＋1＋<删除线1>

3＋2＋1＋1＋1＋<删除线1>

3＋1＋…＋1＋<删除线1>

2＋2＋2＋2＋<删除线1>

2＋2＋2＋1＋1＋<删除线1>

2＋2＋1＋…＋1＋<删除线1>

2＋1＋…＋1＋<删除线1>

1＋…＋1＋<删除线1>

(2)P<7>的部分

7＋<删除线2>

5＋2＋<删除线2>

4＋3＋<删除线2>

3＋2＋2＋<删除线2>

(3)P<7>的部分

<<删除线2>＋1＋…＋1>

<6＋<删除线2>＋1>

<5＋<删除线2>＋1＋1>

<3＋3＋<删除线2>＋1>

由于这种操作存在，所以『支付k＋2元的方法』的个数不会超过『支付k＋1元的方法』与『支付k元的方法』的个数总和。

所以从以上的讨论，可以得到对所有整数k≥0，分拆数P<k＋2>，P<k＋1>之间会成立以下不等式。

P<k＋2>≤P<k＋1>＋P<k>

再来假设

P<k>≤F<k＋1>且P<k＋1>≤F<k＋2>

成立时，加上上面的结果，下面的式子就会成立。

P<k＋2>≤F<k＋2>＋F<k＋1>

从斐波那契数的定义可以得到右边的算式等于F<k＋3>，因此下式成P<k＋2>≤F<k＋3>

因此对任意整数k＞0……

P<k>≤F<k＋1>且P<k＋1>≤F<k＋2>所以P<k＋2>≤F<k＋3>

成立。

由数学归纳法得到对任意整数n≥0，P<n>≤F<n＋1>成立。

嗯，到这里告一段落，分拆数P<n>会一直被斐波那契数F<n＋1>压住。喔，工作还没结束唷，我们还没解出问题10－2，用F<k＋2>＝F<k＋1>＋F<k>做出斐波那契数的列表。

n012345678910111213141516……

P<n>01123581321345589144233377610987……

从表中得知F<16>＝987，所以会变成下列算式成立……

P<15>≤F<16>＝987＜1000

也就是说

P<15>＜1000

因此问题10－2的不等式成立，好，这样就真的结束了。

不用求一般项P<n>，也不用求P<15>的证明完成了。

※※解答10－2

P<15>＜1000

米尔迦心满意足地结束她的发表。

10．5．3蒂蒂的发表

「那、那个……」这次换蒂蒂举手。

「好的，蒂德菈，哪里有问题吗？」米尔迦指向她。

「不，不是问题……我也要发表问题10－2的解。」蒂蒂说。

「喔，那就换手吧。」说完，米尔迦递出粉笔。

「啊，不用了。我的发表很快就会结束，我将支付15元的方法全部写了出来，直接数的话，P<15>的值会是176，所以……

P<15>＝176<1000

故问题10－2的不等式成立。」

蒂蒂说着，并将笔记本面对我们摊开。

①×15①×13＋②

①×11＋②×2①×9＋②×3

①×7＋②×4①×5＋②×5

①×3＋②×6①＋②×7

①×12＋③①×10＋②＋③

①×8＋②×2＋③①×6＋②×3＋③

①×4＋②×4＋③①×2＋②×5＋③

②×6＋③①×9＋③×2

①×7＋②＋③×2①×5＋②×2＋③×2

①×3＋②×3＋③×2①＋②×4＋③×2

①×6＋③×3①×4＋②＋③×3

①×2＋②×2＋③×3②×3＋③×3

①×3＋③×4①＋②＋③×4

③×5①×11＋④

①×9＋②＋④①×7＋②×2＋④

①×5＋②×3＋④①×3＋②×4＋④

①＋②×5＋④①×8＋③＋④

①×6＋②＋③＋④①×4＋②×2＋③＋④

①×2＋②×3＋③＋④②×4＋③＋④

①×5＋③×2＋④①×3＋②＋③×2＋④

①＋②×2＋③×2＋④①×2＋③×3＋④

②＋③×3＋④①×7＋④×2

①×5＋②＋④×2①×3＋②×2＋④×2

①＋②×3＋④×2①×4＋③＋④×2

①×2＋②＋③＋④×2②×2＋③＋④×2

①＋③×2＋④×2①×3＋④×3

①＋②＋④×3③＋④×3

①×10＋⑤①×8＋②＋⑤

①×6＋②×2＋⑤①×4＋②×3＋⑤

①×2＋②×4＋⑤②×5＋⑤

①×7＋③＋⑤①×5＋②＋③＋⑤

①×3＋②×2＋③＋⑤①＋②×3＋③＋⑤

①×4＋③×2＋⑤①×2＋②＋③×2＋⑤

②×2＋③×2＋⑤①＋③×3＋⑤

①×6＋④＋⑤①×4＋②＋④＋⑤

①×2＋②×2＋④＋⑤②×3＋④＋⑤

①×3＋③＋④＋⑤①＋②＋③＋④＋⑤

③×2＋④＋⑤①×2＋④×2＋⑤

②＋④×2＋⑤①×5＋⑤×2

①×3＋②＋⑤×2①＋②×2＋⑤×2

①×2＋③＋⑤×2②＋③＋⑤×2

①＋④＋⑤×2⑤×3

①×9＋⑥①×7＋②＋⑥

①×5＋②×2＋⑥①×3＋②×3＋⑥

①＋②×4＋⑥①×6＋③＋⑥

①×4＋②＋③＋⑥①×2＋②×2＋③＋⑥

②×3＋③＋⑥①×3＋③×2＋⑥

①＋②＋③×2＋⑥③×3＋⑥

①×5＋④＋⑥①×3＋②＋④＋⑥

①＋②×2＋④＋⑥①×2＋③＋④＋⑥

②＋③＋④＋⑥①＋④×2＋⑥

①×4＋⑤＋⑥①×2＋②＋⑤＋⑥

②×2＋⑤＋⑥①＋③＋⑤＋⑥

④＋⑤＋⑥①×3＋⑥×2

①＋②＋⑥×2③＋⑥×2

①×8＋⑦①×6＋②＋⑦

①×4＋②×2＋⑦①×2＋②×3＋⑦

②×4＋⑦①×5＋③＋⑦

①×3＋②＋③＋⑦①＋②×2＋③＋⑦

①×2＋③×2＋⑦②＋③×2＋⑦

①×4＋④＋⑦①×2＋②＋④＋⑦

②×2＋④＋⑦①＋③＋④＋⑦

④×2＋⑦①×3＋⑤＋⑦

①＋②＋⑤＋⑦③＋⑤＋⑦

①×2＋⑥＋⑦②＋⑥＋⑦

①＋⑦×2①×7＋⑧

①×5＋②＋⑧①×3＋②×2＋⑧

①＋②×3＋⑧①×4＋③＋⑧

①×2＋②＋③＋⑧②×2＋③＋⑧

①＋③×2＋⑧①×3＋④＋⑧

①＋②＋④＋⑧③＋④＋⑧

①×2＋⑤＋⑧②＋⑤＋⑧

①＋⑥＋⑧⑦＋⑧

①×6＋⑨①×4＋②＋⑨

①×2＋②×2＋⑨②×3＋⑨

①×3＋③＋⑨①＋②＋③＋⑨

③×2＋⑨①×2＋④＋⑨

②＋④＋⑨①＋⑤＋⑨

⑥＋⑨①×5＋⑩

①×3＋②＋⑩①＋②×2＋⑩

①×2＋③＋⑩②＋③＋⑩

①＋④＋⑩⑤＋⑩

①×4＋<11>①×2＋②＋<11>

②×2＋<11>①＋③＋<11>

④＋<11>①×3＋<12>

①＋②＋<12>③＋<12>

①×2＋<13>②＋<13>

①＋<14><15>

(JoyJ：ANSI编码中没有10以后的序号，因此用<>代替。话说结城你确定你不是在骗稿费？)

米尔迦迅速确认蒂蒂列举的支付方法。

「……没有错误，这是蒂德菈坚持到底的胜利呢。」苦笑的米尔迦摸摸蒂蒂的头。

「嘿嘿，这次没错了。」蒂蒂开心地说。

而我只是哑口无言。

10．6教室

为了拿书包而回到教室的我，心情突然变得很糟。

我在自己的位置上坐下，并趴在桌子上。

固执地求一般项P<n>是个败笔，题目都已经特别用不等式表达了，我还一时兴起想求出生成函数，对解题完全没有帮助。

真不甘心。(无名之声：终于肯承认自己是个废柴男了么＝。＝)

有人走进教室，这个脚步声……是米尔迦，她的脚步声逐渐接近。

「怎么了？」是米尔迦的声音。

我没有回答，也没有抬头看她。

「哇……真阴沉啊。」

在安静的教室中，米尔迦仍旧没有任何动作。

一阵沉默。

我像是输给她似地抬起头。

她的表情并不像平常一样悠闲，而是带点困惑的神情，突然间，米尔迦的手指动了。

1123

这是斐波那契手势，是爱好数学的人打招呼的方式，但是现在的我并没有心情响应她。

米尔迦把手背在背后，将脸朝向旁边说：

「……蒂德菈很可爱呢……」

我没有回答。

「不晓得我能不能像她一样可爱……」

我……没有回答。

教室的扩音器响起了德弗札克的『新世界』。

「……没有解出来，因为走错路了。」我说。

「嗯……」米尔迦说着：「……在地球上的任何地方以及壮大时间之流中，数学家们不断地寻找着各种问题的解答，在这中间，毫无斩获地结束也是常有的事，但是这样就要说寻找是没有意义的吗？当然不是，不去寻找就无法得知是否能够找到、不实际去做怎么得知是否能够做到……我们是旅人，或许有疲倦的时候、或许有迷路的时候，即此如此，我们仍然会继续旅行。」

「我……装成很懂的样子，得意洋洋地求出生成函数，但是这对解决问题并没有帮助……真像个笨蛋一样。」我自嘲。

「那么……」米尔迦面对着我说：「……那么，我来试着找找发现的生成函数P(x)的相关问题吧。」说完话的她露出微笑。

米尔迦再一次伸出手指，再度摆出斐波那契手势。

1123……

接着她将手张开，响应自己的手势。

……5

然后她张开的手缓缓伸向坐在位置上的我，温暖的手指触碰到我的脸庞。

「疲倦的时候便休息吧，走错路的时候就往回走吧……因为这一切全都是我们的旅程。」

她说完话后将身体向前弯曲，把脸凑近我。

我们的眼镜互相碰撞。

镜片的两侧是深邃的瞳孔。

无言诉说感情的脸庞不断靠近，

缓缓地……

「假如瑞谷老师出现的话，会吓一跳吧。」我不经意地说出感想。

「闭上嘴巴。」米尔迦说。

10．7寻找更好上界的旅途

过了几天。

放学后，米尔迦突然对我说：

「我找到比斐波那契数更好的上界了，你来听听看吧，对了，把蒂德菈也找来。」

10．7．1从生成函数出发

米尔迦拿着粉笔站在讲台前面。

蒂蒂和我被叫出来，坐在教室的最前排听她「上课」，除了我们三个人之外没有任何人。

「要求分拆数P<n>的上界，就是求满足P<n>≤M(n)的M(n)，之前已经证明斐波那契数为分拆数的上界了，现在要求的是更好的上界。」

「所谓更好的上界是指比斐波那契数更小的上界吗？」蒂蒂举手发问。

「没错，不过这是在n相当大的时候了。」米尔迦简单地回答。

然后她眯起眼睛说：「我们的起点是生成函数。」

◎◎◎

我们的起点是生成函数，首先思考分拆数P<n>与生成函数P(x)的大小关系，在0＜x＜1的范围内思考的话，将P<n>乘上x<n次方>会比P(x)小。

P<n>x<n次方>＜P(x)

这是因为在生成函数的定义中有包含P<n>x<n次方>的关系，在下式中，右边各项皆为正数，因此左边会比右边小。

P<n>x<n次方>＜P<0>x<0次方>＋P<1>x<1次方>＋……＋P<n>x<n次方>＋……

而我们还知道生成函数P(x)的另一个形式，没错，就是积的形式(这时候她稍微瞄了我一下)，所以右边可以替换成下式。

P<n>x<n次方>≤1/(1-x<1次方>)×1/(1-x<平方>)×1/(1-x<立方>)……

将两边除以x<n次方>。

P<n>＜1/x<n次方>×1/(1-x<1次方>)×1/(1-x<平方>)×1/(1-x<立方>)……

右边的式子会比P<n>还要大，也就是上界的候补，但是无限积并不好处理，所以要将其限制在n枚的情况，要从下面的有限积思考。

P<n>≤1/x<n次方>×1/(1-x<1次方>)×1/(1-x<平方>)×1/(1-x<立方>)……1/(1-x<n次方>)

到这个不等式为止还算单纯，但是右边的积仍旧很难处理，这里要稍微动一下脑。

……我是这样想的，因为积很麻烦，所以想把它变成和，要怎么将积变成和呢？

10．7．2『第一个转角』将积变成和

「只要取对数就好了，取对数的话，就能将积变成和了。」我说。

「就是这样。」米尔迦回答。

◎◎◎

就是这样。

P<n>≤1/x<n次方>×1/(1-x<1次方>)×1/(1-x<平方>)×1/(1-x<立方>)……1/(1-x<n次方>)

将两边取对数，这里是『第一个转角』，我们从家里出发，从『找寻P<n>上界的道路』转到『找寻㏒<以e为底，P<n>>上界的道路』。蒂德菈，没问题吧？虽然细节的讨论也很重要，但是不能迷失了大方向。

㏒<以e为底，P<n>>≤㏒<以e为底，1/x<n次方>×1/(1-x<1次方>)×1/(1-x<平方>)×1/(1-x<立方>)……1/(1-x<n次方>)>

取了对数之后，积就变成和，会得到以下式子。

㏒<以e为底，P<n>>≤㏒<以e为底，1/x<n次方>>＋㏒<以e为底，1/(1-x<1次方>)>＋㏒<以e为底，1/(1-x<平方>)>＋㏒<以e为底，1/(1-x<立方>)>＋……＋㏒<以e为底，1/(1-x<n次方>)>

长式子让人厌烦，用Σ来写吧，意思一样。

㏒<以e为底，P<n>>≤㏒<以e为底，1/x<n次方>>＋Σ<k=1到n,㏒<以e为底，1/(1-x<k次方>)>>

在这里问题分成东西两条路，也就是『岔路』。之后还会回来，所以要将这里记好。

㏒<以e为底，P<n>>≤<以e为底，P<n>>≤

㏒<以e为底，1/x<n次方>>＋Σ<k=1到n,㏒<以e为底，1/(1-x<k次方>)>>

西边的山丘↑ 东边的森林↑

往西边前进的话是山丘，往东边前进则是森林。

10．7．3『东边的森林』泰勒展开式

先看『东边的森林」吧。

『东边的森林』＝Σ<k=1到n,㏒<以e为底，1/(1-x<k次方>)>>

东边的森林有n棵树木，现在要求构成『东边的森林』的『东边的树木』，也就是㏒<以e为底，1/(1-x<k次方>)>的上界。

现在的问题需要评估下面的函数。

『东边的树木』＝㏒<以e为底，1/(1-x<k次方>)>

在思考的同时，令t＝x<k次方>为函数f(1)。

f(t)＝㏒<以e为底，1/(1-t)>

要研究这个函数f(t)，该怎么做比较好呢？你说说看，蒂德菈，该怎么找呢？

◎◎◎

「咦？我……吗？可是我还不太清楚㏒是什么……对不起。」

「这里有不知道的函数f(t)，你看你，蒂德菈，不是『一辈子都不会忘』吗？」

「啊……泰勒展开式！」

「没错。」米尔迦说：「将f(t)以泰勒展开式变回幂级数。」

◎◎◎

将f(t)以泰勒展开式变回幂级数。

由于会用到对数函数的微分以及合成函数的微分，这里就只写出结果。

函数f(t)＝㏒<以e为底，1/(1-t)>以泰勒展开式成为下列幂级数。

『东边的树木』＝㏒<以e为底，1/(1-t)>

＝t<1次方>/1＋t<平方>/2＋t<立方>/2＋……但是0＜t＜1

这里将t还原成xk，就可以得到『东边的树木』的幂级数展开。

㏒<以e为底，1/(1-x<k次方>)>＝x<1k次方>/1＋x<2k次方>/2＋x<3k次方>/2＋……但是0＜x<k次方>＜1

将这个式子取k＝1，2，3，……，n的和，也就是从『东边的树木』回到『东边的森林』。

『东边的森林』＝Σ<k=1到n,>『东边的树木』

＝Σ<k=1到n,㏒<以e为底，1/(1-x<k次方>)>>

泰勒展开式。

＝Σ<k=1到n,x<1k次方>/1＋x<2k次方>/2＋x<3k次方>/3＋……>

里面的和也用Σ表示。

＝Σ<k=1到n,Σ<m=1到∞,x<mk次方>/m>>

交换和的顺序。

＝Σ<m=1到∞,Σ<k=1到n,x<mk次方>/m>>

在这里由于m不被里面的Σ约束，所以将1/m提到外面。

＝Σ<m=1到∞,Σ<k=1到n,(1/m)x<mk次方>>

将内侧Σ的展开，确定与自己理解的一致。

＝Σ<m=1到∞,(1/m)(x<1m次方>＋x<2m次方>＋x<3m次方>＋……＋x<nm次方>)>

我们在中间交换过和的顺序，在无穷级数中交换和的顺序时要非常注意，不过这里就先不深究了。

在这里休息一下，由于现在要求的是上界，所以要试着找出比『东边的森林』更大的式子，在这里将有限和视为无限和做出不等式，做出无限和是因为要利用等比级数的求和公式，我们继续前进吧。

『东边的森林』＝Σ<m=1到∞,(1/m)(x<1m次方>＋x<2m次方>＋x<3m次方>＋……＋x<nm次方>)>

将内侧的有限和作成无限和的不等式。

『东边的森林』＜Σ<m=1到∞,(1/m)(x<1m次方>＋x<2m次方>＋x<3m次方>＋……＋x<nm次方>＋……)>

令0＜x<m次方>＜1，然后使用等比级数的公式。

＝Σ<m=1到∞,(1/m)((x<m次方>)/(1－x<m次方>))>

在这里再度停下脚步，就算不求出最后的式子也没关系，因为现在要求上界，只要找出更大的式子就可以，所以这次要注意分数(x<m次方>)/(1－x<m次方>)下的分母1－x<m次方>，将这个分母用更小的式子取代的话，还可以做出不等式。

懂吗？是将『让式子更容易处理』与『做出稍微大一点的式子』交换，将容易处理的式子妥协成稍微大一点的上界，每次妥协的时候就会出现不等号。

继续观察『东边的森林』吧。

『东边的森林』＜Σ<m=1到∞,(1/m)((x<m次方>)/(1－x<m次方>))>

将分母因式分解。

＝Σ<m=1到∞,(1/m)((x<m次方>)/((1－x)(1＋x＋x<平方>＋……＋x<m－1次方>))>

将分母项中最小的x<m－1次方>以和形成不等式。

＜Σ<m=1到∞,(1/m)((x<m次方>)/((1－x)(1＋x＋x<平方>＋……＋x<m－1次方>))>

(分母中后一项共m项)

因为x<m－1次方>有m个，所以用积表示。

＝Σ<m=1到∞,(1/m)((x<m次方>)/((1－x)mx<m－1次方>)>

「将这个式子整理之后，蒂德菈会大叫喔。」米尔迦对蒂蒂露出不怀好意的微笑。

「咦？米尔迦学姐，为什么我会大叫？」

「那就来试试吧。」

『东边的森林』＜Σ<m=1到∞,(1/m)((x<m次方>)/((1－x)mx<m－1次方>)>

将式子做整理。

＝Σ<m=1到∞,(1/m<平方>)(x/(1－x))>

将没有受到Σ限制的因式移到外面……

＝(x/(1－x))Σ<m=1到∞,1/m<平方>>

「啊～～啊啊啊啊啊啊！」

「看吧。」

「贝塞尔问题！这式子是π<平方>/6！」蒂蒂叫道。

「没错。」米尔迦竖起食指。

◎◎◎

没错，我们在此心怀感激地使用尤拉老师解出的贝塞尔问题的结果吧。

Σ<m=1到∞,1/m<平方>>＝π<平方>/6贝塞尔问题

用了这个就能再继续往下走。

『东边的森林』＝Σ<k=1到n,㏒<以e为底，1/(1－x<k次方>)>>

＜(x/(1－x))Σ<m=1到∞,1/m<平方>>

＝(x/(1－x))(π<平方>/6)贝塞尔问题

对于『东边的森林』的观察就到这里。

对了，为了以后的方便，就令t＝x/(1－x)吧，所以『东边的森林』如下所示。

※※『东边的森林』的上界

Σ<k=1到n,㏒<以e为底，1/(1－x<k次方>)>>＜(π<平方>/6)t但是t＝x/(1－x)

10．7．4『西边的山丘』调和数

我们的旅程已经过了一半，回到『岔路』吧，这次要向『西边的山丘』前进。

令0＜x＜1，现在开始要检讨㏒<以e为底，1/x<n次方>>。

和刚才一样，令t＝x/(1－x)，就能在0＜x＜1时，使0＜t，而且x＝t/(1＋t)。

『西边的山丘』＝㏒<以e为底，1/x<n次方>>

＝n㏒<以e为底，1/x>由㏒<以e为底，a<n次方>>＝n㏒<以e为底，a>得到

＝n㏒<以e为底，(1＋t)/t>将x以t表示

＝n㏒<以e为底，1＋1/t>

这里要注意㏒<以e为底，1＋1/t>，令u＝1/t，然后调查当u＞0时，㏒<以e为底，(1＋u)>的情形，这和调查调和数(Harmonicnumber)时十分类似，先画出和缓的『西边的山丘』。

[插图：平面直角坐标系u-y，1/1+u，过(0,1)向右画直线，任取直线上一点作u轴射影构成长方形。长方形的面积为u，曲线与射影线与u-y轴所成的图形面积为㏒<以e为底，1+u>]

(无名之声：这图我作了1个小时，斜线阴影要一条一条地作，怎么几何画板上阴影就不能用斜线呢？一定要填充颜色，我纠结。)

由于u＞0时，斜线部分的面积小于长方形的面积，所以……

㏒<以e为底，1＋u>＜u

又因为u＝1/t……

㏒<以e为底，1＋1/t>＜1/t

即可得到下式。

㏒<以e为底，1/x<n次方>>＝n㏒<以e为底，1＋1/t>＜n/t

以上就是对『西边的山丘』的观察。

※※『西边的山丘』的上界

㏒<以e为底，1/x<n次方>>＜n/tt＞0

10．7．5旅途的终点

那么，再一次回到『岔路』吧，快一点快一点。

观察『东边的森林』与『西边的山丘』利用到的㏒<以e为底，P<n>>，就会变成下面的式子。

㏒<以e为底，P<n>>＜n/t＋(π<平方>/6)tt＞0

就快结束了，将上面右边的式子命名为g(t)，求函数g(t)在t＞0时的最小值，这个最小值就能将㏒<以e为底，P<n>>的头压住了。

g(t)＝n/t＋(π<平方>/6)t

g’(t)＝－n/t<平方>＋π<平方>/6微分

解方程式g’(t)＝0，得到t＝±(<根号6n>/π)，所以在t＞0的范围内得到以下的增减表。

t 0 …<根号6n>/π…

g’(t)-0+

g(t)最小

故最小值如下。

g(<根号6n>/π)＝(<根号6π>/3)×<根号n>

用比较容易懂的图表示就会像下面的图表，解出方程式g’(t)＝0是为了要找出图中水平切点的位置。

[插图：只有正半轴的平面直角坐标系，画y=g(t)=(n/t)+(π<平方>/6)t，描点(<根号6n>/π×3)<根号n>,(<根号6>π/3)×t]

终于到高潮的部分了，现在关心的只有n，所以其它烦人的常数通通集合起来命名为K。

㏒<以e为底，P<n>>＜K×<根号n>但是K＝<根号6>π/3

在『第一个转角』时有取对数，所以现在反取回来，回到转角就能看见家了。

P<n>＜e<K×<根号n>次方>但是K＝<根号6>π/3

好了，这样终于告一段落了。

虽然是漫长的旅程，不过已经到家了……欢迎回来。

※※分拆数P<n>的上界之一

P<n>＜e<K×<根号n>次方>但是K＝<根号6>π/3

※※求㏒<以e为底，P<n>>的上界×的旅行地图

㏒<以e为底，P<n>>

↓≤

㏒<以e为底，1/x<n次方>>＋Σ<k=1到n,㏒<以e为底，1/(1-x<k次方>)>>

西边的山丘↑ 东边的森林↑

↓

『西边的山丘』←『岔路』→『东边的森林』

↓＜↓＜

n/t→n/t＋(π<平方>/6)t←(π<平方>/6)t

↓

(<根号6>π/3)×<根号n>

10．7．6蒂蒂的回顾

我和蒂蒂一起享受米尔迦这段漫长的旅程，虽然有些地方还想亲自确认，不过现在最重要的是品尝在漫长旅途结束之后……追逐算式之后无法言喻的感觉。

我看向蒂蒂，她摆出认真的表情不发一语。

「蒂蒂，难道你很泄气吗？」我小声地问。

「不！怎么会，我完全不会泄气。」蒂蒂开朗地笑着。「在米尔迦学姐推导的过程中，有很多我不懂的地方，不过我没有泄气，因为我也有很多地方听得懂。」

蒂蒂点点头之后继续说：

「……总觉得好像用脑过度了，真是好长的旅途啊，虽然还有很多地方没消化完，不过已经抓到大概的感觉了，而且出现许多武器让我感到很有趣，能亲手使用这些武器也令我觉得很厉害。」-

将有限和变成无限和，做出不等式-

放弃变形成简便的形式，让上界的观察更为仔细-

为了将积变和而取对数-

使用无穷级数的求和公式-

瓶颈时的泰勒展开式-

麻烦时的变数变换-

尤拉老师的贝塞尔问题-

为了求最小值而微分的增减表

「武器到手之后要靠自己磨练，然后挑战问题，这样才会有跃动的实感。不是解答理所当然的问题就好，而是要将这种栩栩如生的感动传达出去……从『第一个转角』到『岔路』，然后是『东边的森林』与『西边的山丘』……我想自己去寻找！想学习更多知识！米尔迦学姐，谢谢你，虽然我还没办法将每样武器好好地运用，而且在使用之前……要先取得这些知识当武器吧，我会加油的。」

蒂蒂紧握拳头。

10．8再见！明天见

我们三个在回家的路上继续讨论数学，像是刚才的上界，要得到比斐波那契数列更好的上界的话，n要到多大？或是最后要求出P<n>吗？诸如此类的讨论，蒂蒂兴奋地一直提出问题，然后我回答，有时候米尔迦也会提出她的建议……我们不断互动。

最后……通过一如往常的道路，到达一如往常的车站。

平常米尔迦都会迅速离开，不过今天蒂蒂却要跟她一起走。

「咦？蒂蒂，为什么你会往那里走？」

「嘿嘿～～今天我要和米尔迦学姐一起去书店。」

啊，原来如此……感情很好嘛。

「我们先走了，明天见。」米尔迦说。

「学长！明天再来算数学吧。」

蒂蒂大声说完后，就和米尔迦一起并肩向前走。

两人离去。

留下我一个人。

咦？啊……刚刚还在一直交谈，却突然只剩下我一个人……总觉得好像有点寂寞。

我们现在在同一所高中上学，但是总有一天会走向各自的道路，无论再怎么分享，我们的时间与空间仍然有限，结束终将来临，我的胸口传来一阵心痛。

……不远处的蒂蒂正在米尔迦耳边说些什么，突然间，两个人转过身面对我。

怎么了吗？

蒂蒂高举右手，猛烈地摇摆。

米尔迦则是静静地举起右手。

然后两人配合节奏，同时摆动手指。

「一、一、二、三……」蒂蒂的声音传来。

啊，斐波那契手势，而且两人还同时做。

我露出苦笑。

没错，时间确实有限，结束也终将来临，不过正因为如此，才会更尽力地去学、尽力地前进，享受着属于我们的那名为数学的语言。

因为——『数学是超越时间的』。

我用力高举双手，响应这两位数学少女。

米尔迦。

蒂蒂。

明天再一起算数学吧！

对我们来说，这是整个故事的结束，

我们可以真挚地说，他们从此以后过着幸福快乐的日子。

但是对他们而言，这才是真正故事的开始。

他们在这个世界的生活与他们在纳尼亚的冒险，

都不过是这本故事书的封面与标题。

——C．S．刘易斯『最后的战役』(濑田贞二译林静华译／大田出版社)

尾声

——春天。

「老师！」

一位少女跑进了教师办公室。

「老师你看你看，学年徽章变成Ⅱ了。」

「是啊，因为是新学期了……所以报告呢？」

「有～～我有带来……这次是用硬算的，P<15>等于176，所以比1000小，证明完毕，对了吧，老师？」

少女摊开笔记本。

「正确答案……原来如此，全部写上去了啊。」

「没办法用头脑解的话就只能动手了，可是176也和1000差太远了吧！……对了，老师，有表示分拆数的一般项P<n>的式子吗？」

「嗯，算是有吧。」

※※解答X(表示分拆数的一般项P<n>的式子)

P<n>＝(1/(π×<根号2>))×Σ<k=1到∞,A<k>(n)×<根号k>×(d/(dn))×(sinh(<根号n-1/24>/k)/<根号n-1/24>)>

其中C＝π

（JoyJ：成功表示出这个式子以后我泪流满面……结束啦结束啦结束啦啊啊啊啊啊啊啊……）

「……老师，这个夸张的式子是什么？」

「很惊人吧，这是拉德梅御在一九三七年发表的式子。」

「喔……不，等一下。这个Ak(n)是什么？没有定义啊。」

「嗯，你注意到了，这个问题代表你有仔细看这个算式，虽然老师没办法用一句话详细说明A<k>(n)，不过是从某个有限和得出的，这个有限和的24次方是1，详细的话就要挑战论文了。」

「唔，需要到这种程度吗……」

「总之，在整数的分拆中还隐藏着许多不可思议的『宝物』喔。

「老师，先别管数学……这张照片是老师的女朋友吗？地点……是在欧洲吗？」

「好了好了，不要擅自看别人的信。」

「咦，这一封信又是不一样的女生？这张照片……不在日本，是在哪里呢？」

「喂，别拿走。」

「老师很受欢迎呢！」少女发出呵呵的笑声。

「不是你想的那样，她们两个……是老师很重要的朋友，是从高中时代开始就一起在数学世界旅行的同伴。」(无名之声：渣就是渣，还解释什么)

「喔，原来老师也有高中生的时代啊。」

「这当然啊，好了，快回去快回去。」

「给我新的卡片我就回去。」

我递出卡片，少女用两手接过。

「咦？老师……这次是两张卡片啊？，

「嗯，这张是你的卡片，另外一张是他的。」

『啊，好～～那就打扰了！」

少女微笑着摆动手指四次。

我将手张开回应她后，她满足地走出教师办公室。

春天啊……

望向教师办公室窗外的樱花，让我回想起当时的情况。

将手无限地展开，

想获得丰富果实的采收作业，

就要等待读者的努力。

——尤拉[25]